Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69666 / 45090
↖ ↑ ↗
← N 48.861101°
E 11.343384°		 ← 200.89 m → N 48.861101°
E 11.346130°		 →
↑
200.94 m
↓
↑
200.94 m
↓
N 48.859294°
E 11.343384°		 ← 200.90 m →
40 369 m²		 N 48.859294°
E 11.346130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.531513214111328 y=0.344013214111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.531513214111328 × 217)
    floor (0.531513214111328 × 131072)
    floor (69666.5)     		tx = 69666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344013214111328 × 217)
    floor (0.344013214111328 × 131072)
    floor (45090.5)     		ty = 45090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69666 / 45090 ti = "17/69666/45090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69666/45090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69666 ÷ 217
    69666 ÷ 131072     		x = 0.531509399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45090 ÷ 217
    45090 ÷ 131072     		y = 0.344009399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.531509399414062 × 2 - 1) × π
    0.063018798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.19797940
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344009399414062 × 2 - 1) × π
    0.311981201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.980117849631668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19797940} λ = 0.19797940}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.980117849631668))-π/2
    2×atan(2.66477026561955)-π/2
    2×1.21179170779875-π/2
    2.42358341559749-1.57079632675     		φ = 0.85278709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19797940} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.343384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85278709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.861101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69666 KachelY 45090 0.19797940 0.85278709 11.343384 48.861101
    Oben rechts KachelX + 1 69667 KachelY 45090 0.19802733 0.85278709 11.346130 48.861101
    Unten links KachelX 69666 KachelY + 1 45091 0.19797940 0.85275555 11.343384 48.859294
    Unten rechts KachelX + 1 69667 KachelY + 1 45091 0.19802733 0.85275555 11.346130 48.859294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85278709-0.85275555) × R
    3.15399999999411e-05 × 6371000     		dl = 200.941339999624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85278709-0.85275555) × R
    3.15399999999411e-05 × 6371000     		dr = 200.941339999624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19797940-0.19802733) × cos(0.85278709) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.657886699161257 × 6371000     		do = 200.893617965887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19797940-0.19802733) × cos(0.85275555) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.6579104521416 × 6371000     		du = 200.900871224183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85278709)-sin(0.85275555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657886699161257-0.6579104521416)×R²
    abs(0.19802733-0.19797940)×2.37529803429615e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.37529803429615e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.37529803429615e-05×40589641000000     		ar = 40368.5615344854m²