Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69760 / 45440
↖ ↑ ↗
← N 48.224673°
E 11.601562°		 ← 203.48 m → N 48.224673°
E 11.604309°		 →
↑
203.49 m
↓
↑
203.49 m
↓
N 48.222843°
E 11.601562°		 ← 203.49 m →
41 406 m²		 N 48.222843°
E 11.604309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532230377197266 y=0.346683502197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532230377197266 × 217)
    floor (0.532230377197266 × 131072)
    floor (69760.5)     		tx = 69760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346683502197266 × 217)
    floor (0.346683502197266 × 131072)
    floor (45440.5)     		ty = 45440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69760 / 45440 ti = "17/69760/45440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69760/45440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69760 ÷ 217
    69760 ÷ 131072     		x = 0.5322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45440 ÷ 217
    45440 ÷ 131072     		y = 0.3466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5322265625 × 2 - 1) × π
    0.064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20248546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3466796875 × 2 - 1) × π
    0.306640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.963339934764648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20248546} λ = 0.20248546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.963339934764648))-π/2
    2×atan(2.62043395245206)-π/2
    2×1.20623782260396-π/2
    2.41247564520792-1.57079632675     		φ = 0.84167932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20248546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.601562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84167932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.224673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69760 KachelY 45440 0.20248546 0.84167932 11.601562 48.224673
    Oben rechts KachelX + 1 69761 KachelY 45440 0.20253340 0.84167932 11.604309 48.224673
    Unten links KachelX 69760 KachelY + 1 45441 0.20248546 0.84164738 11.601562 48.222843
    Unten rechts KachelX + 1 69761 KachelY + 1 45441 0.20253340 0.84164738 11.604309 48.222843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84167932-0.84164738) × R
    3.19400000000636e-05 × 6371000     		dl = 203.489740000405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84167932-0.84164738) × R
    3.19400000000636e-05 × 6371000     		dr = 203.489740000405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20248546-0.20253340) × cos(0.84167932) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.666211391183872 × 6371000     		do = 203.478107148748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20248546-0.20253340) × cos(0.84164738) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.666235210512768 × 6371000     		du = 203.485382184902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84167932)-sin(0.84164738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666211391183872-0.666235210512768)×R²
    abs(0.20253340-0.20248546)×2.38193288965016e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.38193288965016e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.38193288965016e-05×40589641000000     		ar = 41406.447320582m²