Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69768 / 45192
↖ ↑ ↗
← N 48.676454°
E 11.623535°		 ← 201.68 m → N 48.676454°
E 11.626282°		 →
↑
201.71 m
↓
↑
201.71 m
↓
N 48.674640°
E 11.623535°		 ← 201.68 m →
40 680 m²		 N 48.674640°
E 11.626282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532291412353516 y=0.344791412353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532291412353516 × 217)
    floor (0.532291412353516 × 131072)
    floor (69768.5)     		tx = 69768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344791412353516 × 217)
    floor (0.344791412353516 × 131072)
    floor (45192.5)     		ty = 45192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69768 / 45192 ti = "17/69768/45192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69768/45192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69768 ÷ 217
    69768 ÷ 131072     		x = 0.53228759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45192 ÷ 217
    45192 ÷ 131072     		y = 0.34478759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53228759765625 × 2 - 1) × π
    0.0645751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20286896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34478759765625 × 2 - 1) × π
    0.3104248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.975228285870422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20286896} λ = 0.20286896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.975228285870422))-π/2
    2×atan(2.6517725040843)-π/2
    2×1.2101803560859-π/2
    2.42036071217179-1.57079632675     		φ = 0.84956439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20286896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.623535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84956439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.676454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69768 KachelY 45192 0.20286896 0.84956439 11.623535 48.676454
    Oben rechts KachelX + 1 69769 KachelY 45192 0.20291690 0.84956439 11.626282 48.676454
    Unten links KachelX 69768 KachelY + 1 45193 0.20286896 0.84953273 11.623535 48.674640
    Unten rechts KachelX + 1 69769 KachelY + 1 45193 0.20291690 0.84953273 11.626282 48.674640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84956439-0.84953273) × R
    3.16599999999889e-05 × 6371000     		dl = 201.705859999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84956439-0.84953273) × R
    3.16599999999889e-05 × 6371000     		dr = 201.705859999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20286896-0.20291690) × cos(0.84956439) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.660310348514012 × 6371000     		do = 201.675776824651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20286896-0.20291690) × cos(0.84953273) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.660334124616345 × 6371000     		du = 201.683038658301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84956439)-sin(0.84953273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660310348514012-0.660334124616345)×R²
    abs(0.20291690-0.20286896)×2.37761023335059e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37761023335059e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37761023335059e-05×40589641000000     		ar = 40679.918386217m²