Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 703 / 190
↖ ↑ ↗
← N 74.211983°
E 67.148437°		 ← 10.636 km → N 74.211983°
E 67.500000°		 →
↑
10.668 km
↓
↑
10.668 km
↓
N 74.116047°
E 67.148437°		 ← 10.699 km →
113.797 km²		 N 74.116047°
E 67.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.68701171875 y=0.18603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.68701171875 × 210)
    floor (0.68701171875 × 1024)
    floor (703.5)     		tx = 703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.18603515625 × 210)
    floor (0.18603515625 × 1024)
    floor (190.5)     		ty = 190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 703 / 190 ti = "10/703/190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/703/190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 703 ÷ 210
    703 ÷ 1024     		x = 0.6865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 190 ÷ 210
    190 ÷ 1024     		y = 0.185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6865234375 × 2 - 1) × π
    0.373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17196132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.185546875 × 2 - 1) × π
    0.62890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.97576725474023
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17196132} λ = 1.17196132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.97576725474023))-π/2
    2×atan(7.21215108864937)-π/2
    2×1.43301988305761-π/2
    2.86603976611521-1.57079632675     		φ = 1.29524344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17196132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.148437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29524344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.211983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 703 KachelY 190 1.17196132 1.29524344 67.148437 74.211983
    Oben rechts KachelX + 1 704 KachelY 190 1.17809725 1.29524344 67.500000 74.211983
    Unten links KachelX 703 KachelY + 1 191 1.17196132 1.29356905 67.148437 74.116047
    Unten rechts KachelX + 1 704 KachelY + 1 191 1.17809725 1.29356905 67.500000 74.116047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29524344-1.29356905) × R
    0.0016743899999998 × 6371000     		dl = 10667.5386899987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29524344-1.29356905) × R
    0.0016743899999998 × 6371000     		dr = 10667.5386899987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17196132-1.17809725) × cos(1.29524344) × R
    0.0061359299999999 × 0.272079007608098 × 6371000     		do = 10636.115294368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17196132-1.17809725) × cos(1.29356905) × R
    0.0061359299999999 × 0.273689848953736 × 6371000     		du = 10699.0863204085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29524344)-sin(1.29356905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.272079007608098-0.273689848953736)×R²
    abs(1.17809725-1.17196132)×0.00161084134563821×R²
    0.0061359299999999×0.00161084134563821×6371000²
    0.0061359299999999×0.00161084134563821×40589641000000     		ar = 113797070.928883m²