Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 703 / 449
↖ ↑ ↗
← N 21.616579°
E 67.148437°		 ← 36.343 km → N 21.616579°
E 67.500000°		 →
↑
36.384 km
↓
↑
36.384 km
↓
N 21.289374°
E 67.148437°		 ← 36.424 km →
1 323.76 km²		 N 21.289374°
E 67.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.68701171875 y=0.43896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.68701171875 × 210)
    floor (0.68701171875 × 1024)
    floor (703.5)     		tx = 703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43896484375 × 210)
    floor (0.43896484375 × 1024)
    floor (449.5)     		ty = 449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 703 / 449 ti = "10/703/449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/703/449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 703 ÷ 210
    703 ÷ 1024     		x = 0.6865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 449 ÷ 210
    449 ÷ 1024     		y = 0.4384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6865234375 × 2 - 1) × π
    0.373046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17196132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4384765625 × 2 - 1) × π
    0.123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.386563158536133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17196132} λ = 1.17196132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.386563158536133))-π/2
    2×atan(1.47191335802372)-π/2
    2×0.97403840461466-π/2
    1.94807680922932-1.57079632675     		φ = 0.37728048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17196132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.148437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37728048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.616579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 703 KachelY 449 1.17196132 0.37728048 67.148437 21.616579
    Oben rechts KachelX + 1 704 KachelY 449 1.17809725 0.37728048 67.500000 21.616579
    Unten links KachelX 703 KachelY + 1 450 1.17196132 0.37156968 67.148437 21.289374
    Unten rechts KachelX + 1 704 KachelY + 1 450 1.17809725 0.37156968 67.500000 21.289374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37728048-0.37156968) × R
    0.00571079999999996 × 6371000     		dl = 36383.5067999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37728048-0.37156968) × R
    0.00571079999999996 × 6371000     		dr = 36383.5067999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17196132-1.17809725) × cos(0.37728048) × R
    0.0061359299999999 × 0.929669925866356 × 6371000     		do = 36342.6660665564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17196132-1.17809725) × cos(0.37156968) × R
    0.0061359299999999 × 0.931758576749633 × 6371000     		du = 36424.3156278346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37728048)-sin(0.37156968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.929669925866356-0.931758576749633)×R²
    abs(1.17809725-1.17196132)×0.00208865088327692×R²
    0.0061359299999999×0.00208865088327692×6371000²
    0.0061359299999999×0.00208865088327692×40589641000000     		ar = 1323762584.33049m²