Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 705 / 447
↖ ↑ ↗
← N 22.268764°
E 67.851563°		 ← 36.176 km → N 22.268764°
E 68.203125°		 →
↑
36.218 km
↓
↑
36.218 km
↓
N 21.943045°
E 67.851563°		 ← 36.260 km →
1 311.76 km²		 N 21.943045°
E 68.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.68896484375 y=0.43701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.68896484375 × 210)
    floor (0.68896484375 × 1024)
    floor (705.5)     		tx = 705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43701171875 × 210)
    floor (0.43701171875 × 1024)
    floor (447.5)     		ty = 447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 705 / 447 ti = "10/705/447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/705/447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 705 ÷ 210
    705 ÷ 1024     		x = 0.6884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 447 ÷ 210
    447 ÷ 1024     		y = 0.4365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6884765625 × 2 - 1) × π
    0.376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.18423317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4365234375 × 2 - 1) × π
    0.126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.398835004838867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18423317} λ = 1.18423317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.398835004838867))-π/2
    2×atan(1.49008774105672)-π/2
    2×0.97972978980795-π/2
    1.9594595796159-1.57079632675     		φ = 0.38866325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18423317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.851563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38866325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.268764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 705 KachelY 447 1.18423317 0.38866325 67.851563 22.268764
    Oben rechts KachelX + 1 706 KachelY 447 1.19036909 0.38866325 68.203125 22.268764
    Unten links KachelX 705 KachelY + 1 448 1.18423317 0.38297839 67.851563 21.943045
    Unten rechts KachelX + 1 706 KachelY + 1 448 1.19036909 0.38297839 68.203125 21.943045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38866325-0.38297839) × R
    0.00568486000000001 × 6371000     		dl = 36218.2430600001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38866325-0.38297839) × R
    0.00568486000000001 × 6371000     		dr = 36218.2430600001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18423317-1.19036909) × cos(0.38866325) × R
    0.00613591999999996 × 0.925416450209737 × 6371000     		do = 36176.3301952438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18423317-1.19036909) × cos(0.38297839) × R
    0.00613591999999996 × 0.927555772393619 × 6371000     		du = 36259.9604632173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38866325)-sin(0.38297839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925416450209737-0.927555772393619)×R²
    abs(1.19036909-1.18423317)×0.00213932218388246×R²
    0.00613591999999996×0.00213932218388246×6371000²
    0.00613591999999996×0.00213932218388246×40589641000000     		ar = 1311761123.46962m²