Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 706 / 194
↖ ↑ ↗
← N 73.824820°
E 68.203125°		 ← 10.890 km → N 73.824820°
E 68.554687°		 →
↑
10.922 km
↓
↑
10.922 km
↓
N 73.726594°
E 68.203125°		 ← 10.954 km →
119.295 km²		 N 73.726594°
E 68.554687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.68994140625 y=0.18994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.68994140625 × 210)
    floor (0.68994140625 × 1024)
    floor (706.5)     		tx = 706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.18994140625 × 210)
    floor (0.18994140625 × 1024)
    floor (194.5)     		ty = 194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 706 / 194 ti = "10/706/194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/706/194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 706 ÷ 210
    706 ÷ 1024     		x = 0.689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 194 ÷ 210
    194 ÷ 1024     		y = 0.189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.689453125 × 2 - 1) × π
    0.37890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.19036909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.189453125 × 2 - 1) × π
    0.62109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.95122356213477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19036909} λ = 1.19036909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95122356213477))-π/2
    2×atan(7.03729288005571)-π/2
    2×1.4296412557564-π/2
    2.85928251151279-1.57079632675     		φ = 1.28848618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19036909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28848618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.824820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 706 KachelY 194 1.19036909 1.28848618 68.203125 73.824820
    Oben rechts KachelX + 1 707 KachelY 194 1.19650501 1.28848618 68.554687 73.824820
    Unten links KachelX 706 KachelY + 1 195 1.19036909 1.28677182 68.203125 73.726594
    Unten rechts KachelX + 1 707 KachelY + 1 195 1.19650501 1.28677182 68.554687 73.726594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28848618-1.28677182) × R
    0.00171436000000003 × 6371000     		dl = 10922.1875600002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28848618-1.28677182) × R
    0.00171436000000003 × 6371000     		dr = 10922.1875600002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19036909-1.19650501) × cos(1.28848618) × R
    0.00613592000000018 × 0.278575088305804 × 6371000     		do = 10890.0423981401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19036909-1.19650501) × cos(1.28677182) × R
    0.00613592000000018 × 0.280221174249523 × 6371000     		du = 10954.39110149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28848618)-sin(1.28677182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.278575088305804-0.280221174249523)×R²
    abs(1.19650501-1.19036909)×0.00164608594371829×R²
    0.00613592000000018×0.00164608594371829×6371000²
    0.00613592000000018×0.00164608594371829×40589641000000     		ar = 119294529.129964m²