Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70658 / 46082
↖ ↑ ↗
← N 47.036438°
E 14.067993°		 ← 208.16 m → N 47.036438°
E 14.070740°		 →
↑
208.14 m
↓
↑
208.14 m
↓
N 47.034567°
E 14.067993°		 ← 208.17 m →
43 327 m²		 N 47.034567°
E 14.070740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 46082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539081573486328 y=0.351581573486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539081573486328 × 217)
    floor (0.539081573486328 × 131072)
    floor (70658.5)     		tx = 70658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.351581573486328 × 217)
    floor (0.351581573486328 × 131072)
    floor (46082.5)     		ty = 46082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70658 / 46082 ti = "17/70658/46082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70658/46082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70658 ÷ 217
    70658 ÷ 131072     		x = 0.539077758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 46082 ÷ 217
    46082 ÷ 131072     		y = 0.351577758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539077758789062 × 2 - 1) × π
    0.078155517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24553280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.351577758789062 × 2 - 1) × π
    0.296844482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.932564445208572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24553280} λ = 0.24553280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.932564445208572))-π/2
    2×atan(2.54101712860979)-π/2
    2×1.19586852353291-π/2
    2.39173704706581-1.57079632675     		φ = 0.82094072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24553280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.067993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.82094072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.036438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70658 KachelY 46082 0.24553280 0.82094072 14.067993 47.036438
    Oben rechts KachelX + 1 70659 KachelY 46082 0.24558074 0.82094072 14.070740 47.036438
    Unten links KachelX 70658 KachelY + 1 46083 0.24553280 0.82090805 14.067993 47.034567
    Unten rechts KachelX + 1 70659 KachelY + 1 46083 0.24558074 0.82090805 14.070740 47.034567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.82094072-0.82090805) × R
    3.26699999999569e-05 × 6371000     		dl = 208.140569999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.82094072-0.82090805) × R
    3.26699999999569e-05 × 6371000     		dr = 208.140569999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24553280-0.24558074) × cos(0.82094072) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.681533102016907 × 6371000     		do = 208.157752017993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24553280-0.24558074) × cos(0.82090805) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.681557009143802 × 6371000     		du = 208.165053869917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.82094072)-sin(0.82090805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681533102016907-0.681557009143802)×R²
    abs(0.24558074-0.24553280)×2.39071268948177e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.39071268948177e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39071268948177e-05×40589641000000     		ar = 43326.8330645456m²