Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70688 / 42016
↖ ↑ ↗
← N 54.110943°
E 14.150391°		 ← 179.01 m → N 54.110943°
E 14.153137°		 →
↑
179.09 m
↓
↑
179.09 m
↓
N 54.109333°
E 14.150391°		 ← 179.02 m →
32 059 m²		 N 54.109333°
E 14.153137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.539310455322266 y=0.320560455322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.539310455322266 × 217)
    floor (0.539310455322266 × 131072)
    floor (70688.5)     		tx = 70688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.320560455322266 × 217)
    floor (0.320560455322266 × 131072)
    floor (42016.5)     		ty = 42016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70688 / 42016 ti = "17/70688/42016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70688/42016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70688 ÷ 217
    70688 ÷ 131072     		x = 0.539306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42016 ÷ 217
    42016 ÷ 131072     		y = 0.320556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.539306640625 × 2 - 1) × π
    0.07861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.24697091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.320556640625 × 2 - 1) × π
    0.35888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.12747587906372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.24697091} λ = 0.24697091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.12747587906372))-π/2
    2×atan(3.0878525419517)-π/2
    2×1.25760522124267-π/2
    2.51521044248533-1.57079632675     		φ = 0.94441412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.24697091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.150391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94441412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.110943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70688 KachelY 42016 0.24697091 0.94441412 14.150391 54.110943
    Oben rechts KachelX + 1 70689 KachelY 42016 0.24701884 0.94441412 14.153137 54.110943
    Unten links KachelX 70688 KachelY + 1 42017 0.24697091 0.94438601 14.150391 54.109333
    Unten rechts KachelX + 1 70689 KachelY + 1 42017 0.24701884 0.94438601 14.153137 54.109333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94441412-0.94438601) × R
    2.81100000000256e-05 × 6371000     		dl = 179.088810000163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94441412-0.94438601) × R
    2.81100000000256e-05 × 6371000     		dr = 179.088810000163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.24697091-0.24701884) × cos(0.94441412) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.586217632404934 × 6371000     		do = 179.00860625297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.24697091-0.24701884) × cos(0.94438601) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.586240405591573 × 6371000     		du = 179.015560319472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94441412)-sin(0.94438601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586217632404934-0.586240405591573)×R²
    abs(0.24701884-0.24697091)×2.27731866393466e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.27731866393466e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.27731866393466e-05×40589641000000     		ar = 32059.0609735243m²