Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 707 / 197
↖ ↑ ↗
← N 73.528399°
E 68.554687°		 ← 11.084 km → N 73.528399°
E 68.906250°		 →
↑
11.117 km
↓
↑
11.117 km
↓
N 73.428424°
E 68.554687°		 ← 11.150 km →
123.583 km²		 N 73.428424°
E 68.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.69091796875 y=0.19287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.69091796875 × 210)
    floor (0.69091796875 × 1024)
    floor (707.5)     		tx = 707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19287109375 × 210)
    floor (0.19287109375 × 1024)
    floor (197.5)     		ty = 197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 707 / 197 ti = "10/707/197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/707/197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 707 ÷ 210
    707 ÷ 1024     		x = 0.6904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 197 ÷ 210
    197 ÷ 1024     		y = 0.1923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6904296875 × 2 - 1) × π
    0.380859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.19650501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1923828125 × 2 - 1) × π
    0.615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93281579268066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.19650501} λ = 1.19650501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93281579268066))-π/2
    2×atan(6.90893701213633)-π/2
    2×1.42705449578023-π/2
    2.85410899156047-1.57079632675     		φ = 1.28331266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.19650501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.554687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28331266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.528399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 707 KachelY 197 1.19650501 1.28331266 68.554687 73.528399
    Oben rechts KachelX + 1 708 KachelY 197 1.20264094 1.28331266 68.906250 73.528399
    Unten links KachelX 707 KachelY + 1 198 1.19650501 1.28156776 68.554687 73.428424
    Unten rechts KachelX + 1 708 KachelY + 1 198 1.20264094 1.28156776 68.906250 73.428424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28331266-1.28156776) × R
    0.00174490000000005 × 6371000     		dl = 11116.7579000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28331266-1.28156776) × R
    0.00174490000000005 × 6371000     		dr = 11116.7579000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.19650501-1.20264094) × cos(1.28331266) × R
    0.0061359299999999 × 0.283540061452293 × 6371000     		do = 11084.1509261997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.19650501-1.20264094) × cos(1.28156776) × R
    0.0061359299999999 × 0.285212918947603 × 6371000     		du = 11149.5462881851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28331266)-sin(1.28156776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283540061452293-0.285212918947603)×R²
    abs(1.20264094-1.19650501)×0.00167285749531004×R²
    0.0061359299999999×0.00167285749531004×6371000²
    0.0061359299999999×0.00167285749531004×40589641000000     		ar = 123583345.93304m²