Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 708 / 452
↖ ↑ ↗
← N 20.632784°
E 68.906250°		 ← 36.585 km → N 20.632784°
E 69.257812°		 →
↑
36.624 km
↓
↑
36.624 km
↓
N 20.303418°
E 68.906250°		 ← 36.663 km →
1 341.31 km²		 N 20.303418°
E 69.257812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.69189453125 y=0.44189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.69189453125 × 210)
    floor (0.69189453125 × 1024)
    floor (708.5)     		tx = 708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44189453125 × 210)
    floor (0.44189453125 × 1024)
    floor (452.5)     		ty = 452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 708 / 452 ti = "10/708/452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/708/452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 708 ÷ 210
    708 ÷ 1024     		x = 0.69140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 452 ÷ 210
    452 ÷ 1024     		y = 0.44140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69140625 × 2 - 1) × π
    0.3828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.20264094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44140625 × 2 - 1) × π
    0.1171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.368155389082031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.20264094} λ = 1.20264094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.368155389082031))-π/2
    2×atan(1.44506656909631)-π/2
    2×0.965453172903975-π/2
    1.93090634580795-1.57079632675     		φ = 0.36011002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.20264094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 68.906250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36011002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.632784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 708 KachelY 452 1.20264094 0.36011002 68.906250 20.632784
    Oben rechts KachelX + 1 709 KachelY 452 1.20877686 0.36011002 69.257812 20.632784
    Unten links KachelX 708 KachelY + 1 453 1.20264094 0.35436149 68.906250 20.303418
    Unten rechts KachelX + 1 709 KachelY + 1 453 1.20877686 0.35436149 69.257812 20.303418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36011002-0.35436149) × R
    0.00574852999999997 × 6371000     		dl = 36623.8846299998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36011002-0.35436149) × R
    0.00574852999999997 × 6371000     		dr = 36623.8846299998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.20264094-1.20877686) × cos(0.36011002) × R
    0.00613591999999996 × 0.935858060802633 × 6371000     		do = 36584.5130760356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.20264094-1.20877686) × cos(0.35436149) × R
    0.00613591999999996 × 0.93786823759148 × 6371000     		du = 36663.0947991589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36011002)-sin(0.35436149))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935858060802633-0.93786823759148)×R²
    abs(1.20877686-1.20264094)×0.00201017678884652×R²
    0.00613591999999996×0.00201017678884652×6371000²
    0.00613591999999996×0.00201017678884652×40589641000000     		ar = 1341309663.82257m²