Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71680 / 43009
↖ ↑ ↗
← N 52.481107°
E 16.875000°		 ← 186.01 m → N 52.481107°
E 16.877747°		 →
↑
185.97 m
↓
↑
185.97 m
↓
N 52.479435°
E 16.875000°		 ← 186.02 m →
34 593 m²		 N 52.479435°
E 16.877747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43009 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546878814697266 y=0.328136444091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546878814697266 × 217)
    floor (0.546878814697266 × 131072)
    floor (71680.5)     		tx = 71680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328136444091797 × 217)
    floor (0.328136444091797 × 131072)
    floor (43009.5)     		ty = 43009
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71680 / 43009 ti = "17/71680/43009"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71680/43009.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71680 ÷ 217
    71680 ÷ 131072     		x = 0.546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43009 ÷ 217
    43009 ÷ 131072     		y = 0.328132629394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546875 × 2 - 1) × π
    0.09375 × 3.1415926535     		Λ = 0.29452431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328132629394531 × 2 - 1) × π
    0.343734741210938 × 3.1415926535     		Φ = 1.07987453774101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29452431} λ = 0.29452431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07987453774101))-π/2
    2×atan(2.94431012809184)-π/2
    2×1.24338222406642-π/2
    2.48676444813285-1.57079632675     		φ = 0.91596812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29452431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91596812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.481107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71680 KachelY 43009 0.29452431 0.91596812 16.875000 52.481107
    Oben rechts KachelX + 1 71681 KachelY 43009 0.29457225 0.91596812 16.877747 52.481107
    Unten links KachelX 71680 KachelY + 1 43010 0.29452431 0.91593893 16.875000 52.479435
    Unten rechts KachelX + 1 71681 KachelY + 1 43010 0.29457225 0.91593893 16.877747 52.479435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91596812-0.91593893) × R
    2.91900000000123e-05 × 6371000     		dl = 185.969490000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91596812-0.91593893) × R
    2.91900000000123e-05 × 6371000     		dr = 185.969490000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29452431-0.29457225) × cos(0.91596812) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609022994095686 × 6371000     		do = 186.011298648569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29452431-0.29457225) × cos(0.91593893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609046145959618 × 6371000     		du = 186.018369823742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91596812)-sin(0.91593893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609022994095686-0.609046145959618)×R²
    abs(0.29457225-0.29452431)×2.31518639320916e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31518639320916e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31518639320916e-05×40589641000000     		ar = 34593.0838578227m²