Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71682 / 43010
↖ ↑ ↗
← N 52.479435°
E 16.880493°		 ← 185.98 m → N 52.479435°
E 16.883240°		 →
↑
186.03 m
↓
↑
186.03 m
↓
N 52.477762°
E 16.880493°		 ← 185.99 m →
34 599 m²		 N 52.477762°
E 16.883240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546894073486328 y=0.328144073486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546894073486328 × 217)
    floor (0.546894073486328 × 131072)
    floor (71682.5)     		tx = 71682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328144073486328 × 217)
    floor (0.328144073486328 × 131072)
    floor (43010.5)     		ty = 43010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71682 / 43010 ti = "17/71682/43010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71682/43010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71682 ÷ 217
    71682 ÷ 131072     		x = 0.546890258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43010 ÷ 217
    43010 ÷ 131072     		y = 0.328140258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546890258789062 × 2 - 1) × π
    0.093780517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29462019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328140258789062 × 2 - 1) × π
    0.343719482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07982660084138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29462019} λ = 0.29462019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07982660084138))-π/2
    2×atan(2.94416899037565)-π/2
    2×1.24336762645188-π/2
    2.48673525290375-1.57079632675     		φ = 0.91593893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29462019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.880493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91593893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.479435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71682 KachelY 43010 0.29462019 0.91593893 16.880493 52.479435
    Oben rechts KachelX + 1 71683 KachelY 43010 0.29466812 0.91593893 16.883240 52.479435
    Unten links KachelX 71682 KachelY + 1 43011 0.29462019 0.91590973 16.880493 52.477762
    Unten rechts KachelX + 1 71683 KachelY + 1 43011 0.29466812 0.91590973 16.883240 52.477762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91593893-0.91590973) × R
    2.92000000000625e-05 × 6371000     		dl = 186.033200000398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91593893-0.91590973) × R
    2.92000000000625e-05 × 6371000     		dr = 186.033200000398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29462019-0.29466812) × cos(0.91593893) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.609046145959618 × 6371000     		do = 185.979567493804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29462019-0.29466812) × cos(0.91590973) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.609069305235779 × 6371000     		du = 185.986639457386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91593893)-sin(0.91590973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609046145959618-0.609069305235779)×R²
    abs(0.29466812-0.29462019)×2.31592761607002e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.31592761607002e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.31592761607002e-05×40589641000000     		ar = 34599.0318880324m²