Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71684 / 47108
↖ ↑ ↗
← N 45.081278°
E 16.885986°		 ← 215.66 m → N 45.081278°
E 16.888733°		 →
↑
215.66 m
↓
↑
215.66 m
↓
N 45.079339°
E 16.885986°		 ← 215.67 m →
46 510 m²		 N 45.079339°
E 16.888733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 47108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546909332275391 y=0.359409332275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546909332275391 × 217)
    floor (0.546909332275391 × 131072)
    floor (71684.5)     		tx = 71684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359409332275391 × 217)
    floor (0.359409332275391 × 131072)
    floor (47108.5)     		ty = 47108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71684 / 47108 ti = "17/71684/47108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71684/47108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71684 ÷ 217
    71684 ÷ 131072     		x = 0.546905517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 47108 ÷ 217
    47108 ÷ 131072     		y = 0.359405517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.546905517578125 × 2 - 1) × π
    0.09381103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.29471606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359405517578125 × 2 - 1) × π
    0.28118896484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.883381186198395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29471606} λ = 0.29471606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883381186198395))-π/2
    2×atan(2.41906520398482)-π/2
    2×1.17880653478634-π/2
    2.35761306957268-1.57079632675     		φ = 0.78681674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29471606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.885986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78681674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.081278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71684 KachelY 47108 0.29471606 0.78681674 16.885986 45.081278
    Oben rechts KachelX + 1 71685 KachelY 47108 0.29476400 0.78681674 16.888733 45.081278
    Unten links KachelX 71684 KachelY + 1 47109 0.29471606 0.78678289 16.885986 45.079339
    Unten rechts KachelX + 1 71685 KachelY + 1 47109 0.29476400 0.78678289 16.888733 45.079339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78681674-0.78678289) × R
    3.38500000000019e-05 × 6371000     		dl = 215.658350000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78681674-0.78678289) × R
    3.38500000000019e-05 × 6371000     		dr = 215.658350000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29471606-0.29476400) × cos(0.78681674) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.706102984911246 × 6371000     		do = 215.662026682834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29471606-0.29476400) × cos(0.78678289) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.706126954001587 × 6371000     		du = 215.669347459989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78681674)-sin(0.78678289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706102984911246-0.706126954001587)×R²
    abs(0.29476400-0.29471606)×2.39690903411915e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39690903411915e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39690903411915e-05×40589641000000     		ar = 46510.1062299567m²