Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 71688 / 43016
↖ ↑ ↗
← N 52.469397°
E 16.896973°		 ← 186.02 m → N 52.469397°
E 16.899719°		 →
↑
186.03 m
↓
↑
186.03 m
↓
N 52.467724°
E 16.896973°		 ← 186.03 m →
34 607 m²		 N 52.467724°
E 16.899719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 71688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.546939849853516 y=0.328189849853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.546939849853516 × 217)
    floor (0.546939849853516 × 131072)
    floor (71688.5)     		tx = 71688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328189849853516 × 217)
    floor (0.328189849853516 × 131072)
    floor (43016.5)     		ty = 43016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 71688 / 43016 ti = "17/71688/43016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/71688/43016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 71688 ÷ 217
    71688 ÷ 131072     		x = 0.54693603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43016 ÷ 217
    43016 ÷ 131072     		y = 0.32818603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54693603515625 × 2 - 1) × π
    0.0938720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.29490781
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32818603515625 × 2 - 1) × π
    0.3436279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07953897944366
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.29490781} λ = 0.29490781}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07953897944366))-π/2
    2×atan(2.94332230614361)-π/2
    2×1.24328002910891-π/2
    2.48656005821781-1.57079632675     		φ = 0.91576373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.29490781} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 16.896973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91576373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.469397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 71688 KachelY 43016 0.29490781 0.91576373 16.896973 52.469397
    Oben rechts KachelX + 1 71689 KachelY 43016 0.29495574 0.91576373 16.899719 52.469397
    Unten links KachelX 71688 KachelY + 1 43017 0.29490781 0.91573453 16.896973 52.467724
    Unten rechts KachelX + 1 71689 KachelY + 1 43017 0.29495574 0.91573453 16.899719 52.467724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91576373-0.91573453) × R
    2.91999999999515e-05 × 6371000     		dl = 186.033199999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91576373-0.91573453) × R
    2.91999999999515e-05 × 6371000     		dr = 186.033199999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.29490781-0.29495574) × cos(0.91576373) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.609185093826434 × 6371000     		do = 186.021996896694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.29490781-0.29495574) × cos(0.91573453) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.609208249986398 × 6371000     		du = 186.029067908708m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91576373)-sin(0.91573453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609185093826434-0.609208249986398)×R²
    abs(0.29495574-0.29490781)×2.3156159963289e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3156159963289e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3156159963289e-05×40589641000000     		ar = 34606.9250769031m²