Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7176 / 5128
↖ ↑ ↗
← S 41.244773°
E135.351562°		 ← 3 674.15 m → S 41.244773°
E135.395508°		 →
↑
3 673.20 m
↓
↑
3 673.20 m
↓
S 41.277806°
E135.351562°		 ← 3 672.30 m →
13 492 491 m²		 S 41.277806°
E135.395508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87603759765625 y=0.62603759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87603759765625 × 213)
    floor (0.87603759765625 × 8192)
    floor (7176.5)     		tx = 7176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62603759765625 × 213)
    floor (0.62603759765625 × 8192)
    floor (5128.5)     		ty = 5128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7176 / 5128 ti = "13/7176/5128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7176/5128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7176 ÷ 213
    7176 ÷ 8192     		x = 0.8759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5128 ÷ 213
    5128 ÷ 8192     		y = 0.6259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8759765625 × 2 - 1) × π
    0.751953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.36233041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6259765625 × 2 - 1) × π
    -0.251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.791534086526367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36233041} λ = 2.36233041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.791534086526367))-π/2
    2×atan(0.453149091867909)-π/2
    2×0.425469625094814-π/2
    0.850939250189629-1.57079632675     		φ = -0.71985708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36233041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.351562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71985708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.244773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7176 KachelY 5128 2.36233041 -0.71985708 135.351562 -41.244773
    Oben rechts KachelX + 1 7177 KachelY 5128 2.36309740 -0.71985708 135.395508 -41.244773
    Unten links KachelX 7176 KachelY + 1 5129 2.36233041 -0.72043363 135.351562 -41.277806
    Unten rechts KachelX + 1 7177 KachelY + 1 5129 2.36309740 -0.72043363 135.395508 -41.277806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71985708--0.72043363) × R
    0.000576550000000009 × 6371000     		dl = 3673.20005000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71985708--0.72043363) × R
    0.000576550000000009 × 6371000     		dr = 3673.20005000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36233041-2.36309740) × cos(-0.71985708) × R
    0.000766989999999801 × 0.751899960719653 × 6371000     		do = 3674.15411280689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36233041-2.36309740) × cos(-0.72043363) × R
    0.000766989999999801 × 0.751519729491663 × 6371000     		du = 3672.29611546268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71985708)-sin(-0.72043363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751899960719653-0.751519729491663)×R²
    abs(2.36309740-2.36233041)×0.00038023122798958×R²
    0.000766989999999801×0.00038023122798958×6371000²
    0.000766989999999801×0.00038023122798958×40589641000000     		ar = 13492491.0466561m²