Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7184 / 5136
↖ ↑ ↗
← S 41.508577°
E135.703125°		 ← 3 659.28 m → S 41.508577°
E135.747070°		 →
↑
3 658.36 m
↓
↑
3 658.36 m
↓
S 41.541478°
E135.703125°		 ← 3 657.42 m →
13 383 554 m²		 S 41.541478°
E135.747070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87701416015625 y=0.62701416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87701416015625 × 213)
    floor (0.87701416015625 × 8192)
    floor (7184.5)     		tx = 7184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62701416015625 × 213)
    floor (0.62701416015625 × 8192)
    floor (5136.5)     		ty = 5136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7184 / 5136 ti = "13/7184/5136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7184/5136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7184 ÷ 213
    7184 ÷ 8192     		x = 0.876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5136 ÷ 213
    5136 ÷ 8192     		y = 0.626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.876953125 × 2 - 1) × π
    0.75390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.36846634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626953125 × 2 - 1) × π
    -0.25390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.797670009677734
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36846634} λ = 2.36846634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.797670009677734))-π/2
    2×atan(0.450377116873829)-π/2
    2×0.423167492576542-π/2
    0.846334985153084-1.57079632675     		φ = -0.72446134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36846634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72446134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.508577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7184 KachelY 5136 2.36846634 -0.72446134 135.703125 -41.508577
    Oben rechts KachelX + 1 7185 KachelY 5136 2.36923333 -0.72446134 135.747070 -41.508577
    Unten links KachelX 7184 KachelY + 1 5137 2.36846634 -0.72503556 135.703125 -41.541478
    Unten rechts KachelX + 1 7185 KachelY + 1 5137 2.36923333 -0.72503556 135.747070 -41.541478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72446134--0.72503556) × R
    0.00057422000000007 × 6371000     		dl = 3658.35562000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72446134--0.72503556) × R
    0.00057422000000007 × 6371000     		dr = 3658.35562000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36846634-2.36923333) × cos(-0.72446134) × R
    0.000766990000000245 × 0.748856517896165 × 6371000     		do = 3659.28234987354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36846634-2.36923333) × cos(-0.72503556) × R
    0.000766990000000245 × 0.748475840396585 × 6371000     		du = 3657.42217182619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72446134)-sin(-0.72503556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748856517896165-0.748475840396585)×R²
    abs(2.36923333-2.36846634)×0.00038067749958004×R²
    0.000766990000000245×0.00038067749958004×6371000²
    0.000766990000000245×0.00038067749958004×40589641000000     		ar = 13383553.921166m²