Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7185 / 5137
↖ ↑ ↗
← S 41.541478°
E135.747070°		 ← 3 657.42 m → S 41.541478°
E135.791016°		 →
↑
3 656.51 m
↓
↑
3 656.51 m
↓
S 41.574361°
E135.747070°		 ← 3 655.56 m →
13 369 993 m²		 S 41.574361°
E135.791016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.87713623046875 y=0.62713623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.87713623046875 × 213)
    floor (0.87713623046875 × 8192)
    floor (7185.5)     		tx = 7185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62713623046875 × 213)
    floor (0.62713623046875 × 8192)
    floor (5137.5)     		ty = 5137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7185 / 5137 ti = "13/7185/5137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7185/5137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7185 ÷ 213
    7185 ÷ 8192     		x = 0.8770751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5137 ÷ 213
    5137 ÷ 8192     		y = 0.6270751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8770751953125 × 2 - 1) × π
    0.754150390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.36923333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6270751953125 × 2 - 1) × π
    -0.254150390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.798437000071655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.36923333} λ = 2.36923333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.798437000071655))-π/2
    2×atan(0.450031814390316)-π/2
    2×0.422880382691398-π/2
    0.845760765382795-1.57079632675     		φ = -0.72503556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.36923333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 135.747070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72503556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.541478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7185 KachelY 5137 2.36923333 -0.72503556 135.747070 -41.541478
    Oben rechts KachelX + 1 7186 KachelY 5137 2.37000032 -0.72503556 135.791016 -41.541478
    Unten links KachelX 7185 KachelY + 1 5138 2.36923333 -0.72560949 135.747070 -41.574361
    Unten rechts KachelX + 1 7186 KachelY + 1 5138 2.37000032 -0.72560949 135.791016 -41.574361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72503556--0.72560949) × R
    0.000573929999999945 × 6371000     		dl = 3656.50802999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72503556--0.72560949) × R
    0.000573929999999945 × 6371000     		dr = 3656.50802999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.36923333-2.37000032) × cos(-0.72503556) × R
    0.000766989999999801 × 0.748475840396585 × 6371000     		do = 3657.42217182407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.36923333-2.37000032) × cos(-0.72560949) × R
    0.000766989999999801 × 0.748095108544688 × 6371000     		du = 3655.56172818449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72503556)-sin(-0.72560949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.748475840396585-0.748095108544688)×R²
    abs(2.37000032-2.36923333)×0.000380731851897576×R²
    0.000766989999999801×0.000380731851897576×6371000²
    0.000766989999999801×0.000380731851897576×40589641000000     		ar = 13369992.5438214m²