Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 72 / 55
↖ ↑ ↗
← N 24.527135°
E 22.500000°		 ← 284.516 km → N 24.527135°
E 25.312500°		 →
↑
287.338 km
↓
↑
287.338 km
↓
N 21.943045°
E 22.500000°		 ← 290.080 km →
82 565.5 km²		 N 21.943045°
E 25.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56640625 y=0.43359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56640625 × 27)
    floor (0.56640625 × 128)
    floor (72.5)     		tx = 72
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43359375 × 27)
    floor (0.43359375 × 128)
    floor (55.5)     		ty = 55
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 72 / 55 ti = "7/72/55"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/72/55.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72 ÷ 27
    72 ÷ 128     		x = 0.5625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55 ÷ 27
    55 ÷ 128     		y = 0.4296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5625 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4296875 × 2 - 1) × π
    0.140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.441786466898437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39269908} λ = 0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.441786466898437))-π/2
    2×atan(1.55548355774086)-π/2
    2×0.999437792759148-π/2
    1.9988755855183-1.57079632675     		φ = 0.42807926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42807926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.527135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72 KachelY 55 0.39269908 0.42807926 22.500000 24.527135
    Oben rechts KachelX + 1 73 KachelY 55 0.44178647 0.42807926 25.312500 24.527135
    Unten links KachelX 72 KachelY + 1 56 0.39269908 0.38297839 22.500000 21.943045
    Unten rechts KachelX + 1 73 KachelY + 1 56 0.44178647 0.38297839 25.312500 21.943045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42807926-0.38297839) × R
    0.04510087 × 6371000     		dl = 287337.64277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42807926-0.38297839) × R
    0.04510087 × 6371000     		dr = 287337.64277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39269908-0.44178647) × cos(0.42807926) × R
    0.04908739 × 0.909764772910752 × 6371000     		do = 284515.979214974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39269908-0.44178647) × cos(0.38297839) × R
    0.04908739 × 0.927555772393619 × 6371000     		du = 290079.860989475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42807926)-sin(0.38297839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909764772910752-0.927555772393619)×R²
    abs(0.44178647-0.39269908)×0.0177909994828676×R²
    0.04908739×0.0177909994828676×6371000²
    0.04908739×0.0177909994828676×40589641000000     		ar = 82565503070.9041m²