Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73728 / 40960
↖ ↑ ↗
← N 55.776573°
E 22.500000°		 ← 171.78 m → N 55.776573°
E 22.502747°		 →
↑
171.76 m
↓
↑
171.76 m
↓
N 55.775028°
E 22.500000°		 ← 171.78 m →
29 506 m²		 N 55.775028°
E 22.502747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.562503814697266 y=0.312503814697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.562503814697266 × 217)
    floor (0.562503814697266 × 131072)
    floor (73728.5)     		tx = 73728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312503814697266 × 217)
    floor (0.312503814697266 × 131072)
    floor (40960.5)     		ty = 40960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73728 / 40960 ti = "17/73728/40960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73728/40960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73728 ÷ 217
    73728 ÷ 131072     		x = 0.5625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40960 ÷ 217
    40960 ÷ 131072     		y = 0.3125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5625 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39269908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3125 × 2 - 1) × π
    0.375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1780972450625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39269908} λ = 0.39269908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1780972450625))-π/2
    2×atan(3.24818781376435)-π/2
    2×1.27214058571537-π/2
    2.54428117143074-1.57079632675     		φ = 0.97348484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39269908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97348484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.776573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73728 KachelY 40960 0.39269908 0.97348484 22.500000 55.776573
    Oben rechts KachelX + 1 73729 KachelY 40960 0.39274702 0.97348484 22.502747 55.776573
    Unten links KachelX 73728 KachelY + 1 40961 0.39269908 0.97345788 22.500000 55.775028
    Unten rechts KachelX + 1 73729 KachelY + 1 40961 0.39274702 0.97345788 22.502747 55.775028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97348484-0.97345788) × R
    2.69600000000203e-05 × 6371000     		dl = 171.762160000129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97348484-0.97345788) × R
    2.69600000000203e-05 × 6371000     		dr = 171.762160000129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39269908-0.39274702) × cos(0.97348484) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.562421509722991 × 6371000     		do = 171.778005799148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39269908-0.39274702) × cos(0.97345788) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.562443801412899 × 6371000     		du = 171.784814255034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97348484)-sin(0.97345788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562421509722991-0.562443801412899)×R²
    abs(0.39274702-0.39269908)×2.22916899080827e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22916899080827e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22916899080827e-05×40589641000000     		ar = 29505.546035796m²