Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73984 / 41215
↖ ↑ ↗
← N 55.380671°
E 23.203125°		 ← 173.48 m → N 55.380671°
E 23.205871°		 →
↑
173.55 m
↓
↑
173.55 m
↓
N 55.379110°
E 23.203125°		 ← 173.49 m →
30 108 m²		 N 55.379110°
E 23.205871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564456939697266 y=0.314449310302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564456939697266 × 217)
    floor (0.564456939697266 × 131072)
    floor (73984.5)     		tx = 73984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314449310302734 × 217)
    floor (0.314449310302734 × 131072)
    floor (41215.5)     		ty = 41215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73984 / 41215 ti = "17/73984/41215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73984/41215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73984 ÷ 217
    73984 ÷ 131072     		x = 0.564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41215 ÷ 217
    41215 ÷ 131072     		y = 0.314445495605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564453125 × 2 - 1) × π
    0.12890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40497093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314445495605469 × 2 - 1) × π
    0.371109008789062 × 3.1415926535     		Φ = 1.16587333565939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40497093} λ = 0.40497093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16587333565939))-π/2
    2×atan(3.20872395293696)-π/2
    2×1.26868568771761-π/2
    2.53737137543522-1.57079632675     		φ = 0.96657505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40497093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96657505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.380671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73984 KachelY 41215 0.40497093 0.96657505 23.203125 55.380671
    Oben rechts KachelX + 1 73985 KachelY 41215 0.40501886 0.96657505 23.205871 55.380671
    Unten links KachelX 73984 KachelY + 1 41216 0.40497093 0.96654781 23.203125 55.379110
    Unten rechts KachelX + 1 73985 KachelY + 1 41216 0.40501886 0.96654781 23.205871 55.379110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96657505-0.96654781) × R
    2.72399999999839e-05 × 6371000     		dl = 173.546039999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96657505-0.96654781) × R
    2.72399999999839e-05 × 6371000     		dr = 173.546039999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40497093-0.40501886) × cos(0.96657505) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.568121402402514 × 6371000     		do = 173.482704723984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40497093-0.40501886) × cos(0.96654781) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.568143819206898 × 6371000     		du = 173.489549964877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96657505)-sin(0.96654781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568121402402514-0.568143819206898)×R²
    abs(0.40501886-0.40497093)×2.24168043841955e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.24168043841955e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.24168043841955e-05×40589641000000     		ar = 30107.8303975064m²