Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 740 / 1380
↖ ↑ ↗
← S 52.908902°
W 49.921875°		 ← 11.788 km → S 52.908902°
W 49.746094°		 →
↑
11.773 km
↓
↑
11.773 km
↓
S 53.014783°
W 49.921875°		 ← 11.759 km →
138.615 km²		 S 53.014783°
W 49.746094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.361572265625 y=0.674072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.361572265625 × 211)
    floor (0.361572265625 × 2048)
    floor (740.5)     		tx = 740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674072265625 × 211)
    floor (0.674072265625 × 2048)
    floor (1380.5)     		ty = 1380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 740 / 1380 ti = "11/740/1380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/740/1380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 740 ÷ 211
    740 ÷ 2048     		x = 0.361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1380 ÷ 211
    1380 ÷ 2048     		y = 0.673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.361328125 × 2 - 1) × π
    -0.27734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.87130109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.673828125 × 2 - 1) × π
    -0.34765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.09219432094336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87130109} λ = -0.87130109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09219432094336))-π/2
    2×atan(0.335479535670024)-π/2
    2×0.323680891232481-π/2
    0.647361782464962-1.57079632675     		φ = -0.92343454
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87130109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92343454 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.908902°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 740 KachelY 1380 -0.87130109 -0.92343454 -49.921875 -52.908902
    Oben rechts KachelX + 1 741 KachelY 1380 -0.86823313 -0.92343454 -49.746094 -52.908902
    Unten links KachelX 740 KachelY + 1 1381 -0.87130109 -0.92528252 -49.921875 -53.014783
    Unten rechts KachelX + 1 741 KachelY + 1 1381 -0.86823313 -0.92528252 -49.746094 -53.014783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92343454--0.92528252) × R
    0.00184797999999997 × 6371000     		dl = 11773.4805799998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92343454--0.92528252) × R
    0.00184797999999997 × 6371000     		dr = 11773.4805799998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87130109--0.86823313) × cos(-0.92343454) × R
    0.00306795999999998 × 0.603084063284091 × 6371000     		do = 11787.8649141745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87130109--0.86823313) × cos(-0.92528252) × R
    0.00306795999999998 × 0.601608942028614 × 6371000     		du = 11759.0322337072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92343454)-sin(-0.92528252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603084063284091-0.601608942028614)×R²
    abs(-0.86823313--0.87130109)×0.00147512125547689×R²
    0.00306795999999998×0.00147512125547689×6371000²
    0.00306795999999998×0.00147512125547689×40589641000000     		ar = 138614507.592647m²