Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 744 / 1384
↖ ↑ ↗
← S 53.330873°
W 49.218750°		 ← 11.673 km → S 53.330873°
W 49.042969°		 →
↑
11.658 km
↓
↑
11.658 km
↓
S 53.435719°
W 49.218750°		 ← 11.644 km →
135.917 km²		 S 53.435719°
W 49.042969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.363525390625 y=0.676025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.363525390625 × 211)
    floor (0.363525390625 × 2048)
    floor (744.5)     		tx = 744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676025390625 × 211)
    floor (0.676025390625 × 2048)
    floor (1384.5)     		ty = 1384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 744 / 1384 ti = "11/744/1384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/744/1384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 744 ÷ 211
    744 ÷ 2048     		x = 0.36328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1384 ÷ 211
    1384 ÷ 2048     		y = 0.67578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36328125 × 2 - 1) × π
    -0.2734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85902924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67578125 × 2 - 1) × π
    -0.3515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.10446616724609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85902924} λ = -0.85902924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10446616724609))-π/2
    2×atan(0.33138774066158)-π/2
    2×0.319998500148606-π/2
    0.639997000297211-1.57079632675     		φ = -0.93079933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85902924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93079933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.330873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 744 KachelY 1384 -0.85902924 -0.93079933 -49.218750 -53.330873
    Oben rechts KachelX + 1 745 KachelY 1384 -0.85596128 -0.93079933 -49.042969 -53.330873
    Unten links KachelX 744 KachelY + 1 1385 -0.85902924 -0.93262924 -49.218750 -53.435719
    Unten rechts KachelX + 1 745 KachelY + 1 1385 -0.85596128 -0.93262924 -49.042969 -53.435719
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93079933--0.93262924) × R
    0.00182990999999999 × 6371000     		dl = 11658.3566099999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93079933--0.93262924) × R
    0.00182990999999999 × 6371000     		dr = 11658.3566099999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85902924--0.85596128) × cos(-0.93079933) × R
    0.00306795999999998 × 0.597193032501625 × 6371000     		do = 11672.7189846157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85902924--0.85596128) × cos(-0.93262924) × R
    0.00306795999999998 × 0.595724267119292 × 6371000     		du = 11644.0105358743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93079933)-sin(-0.93262924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597193032501625-0.595724267119292)×R²
    abs(-0.85596128--0.85902924)×0.00146876538233376×R²
    0.00306795999999998×0.00146876538233376×6371000²
    0.00306795999999998×0.00146876538233376×40589641000000     		ar = 135917411.791803m²