Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7808 / 4736
↖ ↑ ↗
← N 60.239811°
W  8.437500°		 ← 1 212.77 m → N 60.239811°
W  8.415527°		 →
↑
1 212.97 m
↓
↑
1 212.97 m
↓
N 60.228903°
W  8.437500°		 ← 1 213.18 m →
1 471 307 m²		 N 60.228903°
W  8.415527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.476593017578125 y=0.289093017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.476593017578125 × 214)
    floor (0.476593017578125 × 16384)
    floor (7808.5)     		tx = 7808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.289093017578125 × 214)
    floor (0.289093017578125 × 16384)
    floor (4736.5)     		ty = 4736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7808 / 4736 ti = "14/7808/4736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7808/4736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7808 ÷ 214
    7808 ÷ 16384     		x = 0.4765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4736 ÷ 214
    4736 ÷ 16384     		y = 0.2890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4765625 × 2 - 1) × π
    -0.046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.14726216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2890625 × 2 - 1) × π
    0.421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.32535940069531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.14726216} λ = -0.14726216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.32535940069531))-π/2
    2×atan(3.7635377300401)-π/2
    2×1.31108968623612-π/2
    2.62217937247223-1.57079632675     		φ = 1.05138305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.14726216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05138305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.239811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7808 KachelY 4736 -0.14726216 1.05138305 -8.437500 60.239811
    Oben rechts KachelX + 1 7809 KachelY 4736 -0.14687866 1.05138305 -8.415527 60.239811
    Unten links KachelX 7808 KachelY + 1 4737 -0.14726216 1.05119266 -8.437500 60.228903
    Unten rechts KachelX + 1 7809 KachelY + 1 4737 -0.14687866 1.05119266 -8.415527 60.228903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05138305-1.05119266) × R
    0.000190390000000207 × 6371000     		dl = 1212.97469000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05138305-1.05119266) × R
    0.000190390000000207 × 6371000     		dr = 1212.97469000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.14726216--0.14687866) × cos(1.05138305) × R
    0.000383500000000009 × 0.496370882698369 × 6371000     		do = 1212.77230572297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.14726216--0.14687866) × cos(1.05119266) × R
    0.000383500000000009 × 0.496536153270842 × 6371000     		du = 1213.17610775938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05138305)-sin(1.05119266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.496370882698369-0.496536153270842)×R²
    abs(-0.14687866--0.14726216)×0.000165270572472842×R²
    0.000383500000000009×0.000165270572472842×6371000²
    0.000383500000000009×0.000165270572472842×40589641000000     		ar = 1471307.01684622m²