Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7936 / 4863
↖ ↑ ↗
← N 58.825118°
W  5.625000°		 ← 1 264.73 m → N 58.825118°
W  5.603028°		 →
↑
1 264.96 m
↓
↑
1 264.96 m
↓
N 58.813742°
W  5.625000°		 ← 1 265.15 m →
1 600 104 m²		 N 58.813742°
W  5.603028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.484405517578125 y=0.296844482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.484405517578125 × 214)
    floor (0.484405517578125 × 16384)
    floor (7936.5)     		tx = 7936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296844482421875 × 214)
    floor (0.296844482421875 × 16384)
    floor (4863.5)     		ty = 4863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7936 / 4863 ti = "14/7936/4863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7936/4863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7936 ÷ 214
    7936 ÷ 16384     		x = 0.484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4863 ÷ 214
    4863 ÷ 16384     		y = 0.29681396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.484375 × 2 - 1) × π
    -0.03125 × 3.1415926535     		Λ = -0.09817477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29681396484375 × 2 - 1) × π
    0.4063720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27665551068134
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09817477} λ = -0.09817477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27665551068134))-π/2
    2×atan(3.58463089532012)-π/2
    2×1.29874415737527-π/2
    2.59748831475053-1.57079632675     		φ = 1.02669199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09817477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02669199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.825118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7936 KachelY 4863 -0.09817477 1.02669199 -5.625000 58.825118
    Oben rechts KachelX + 1 7937 KachelY 4863 -0.09779128 1.02669199 -5.603028 58.825118
    Unten links KachelX 7936 KachelY + 1 4864 -0.09817477 1.02649344 -5.625000 58.813742
    Unten rechts KachelX + 1 7937 KachelY + 1 4864 -0.09779128 1.02649344 -5.603028 58.813742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02669199-1.02649344) × R
    0.000198549999999909 × 6371000     		dl = 1264.96204999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02669199-1.02649344) × R
    0.000198549999999909 × 6371000     		dr = 1264.96204999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09817477--0.09779128) × cos(1.02669199) × R
    0.00038349 × 0.517651976616146 × 6371000     		do = 1264.7349653413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09817477--0.09779128) × cos(1.02649344) × R
    0.00038349 × 0.517821844059361 × 6371000     		du = 1265.14998799091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02669199)-sin(1.02649344))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517651976616146-0.517821844059361)×R²
    abs(-0.09779128--0.09817477)×0.000169867443215344×R²
    0.00038349×0.000169867443215344×6371000²
    0.00038349×0.000169867443215344×40589641000000     		ar = 1600104.23367013m²