Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7952 / 4880
↖ ↑ ↗
← N 58.631216°
W  5.273438°		 ← 1 271.84 m → N 58.631216°
W  5.251465°		 →
↑
1 271.97 m
↓
↑
1 271.97 m
↓
N 58.619777°
W  5.273438°		 ← 1 272.25 m →
1 618 001 m²		 N 58.619777°
W  5.251465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.485382080078125 y=0.297882080078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.485382080078125 × 214)
    floor (0.485382080078125 × 16384)
    floor (7952.5)     		tx = 7952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297882080078125 × 214)
    floor (0.297882080078125 × 16384)
    floor (4880.5)     		ty = 4880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7952 / 4880 ti = "14/7952/4880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7952/4880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7952 ÷ 214
    7952 ÷ 16384     		x = 0.4853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4880 ÷ 214
    4880 ÷ 16384     		y = 0.2978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4853515625 × 2 - 1) × π
    -0.029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.09203885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2978515625 × 2 - 1) × π
    0.404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.27013609233301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.09203885} λ = -0.09203885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27013609233301))-π/2
    2×atan(3.56133720006522)-π/2
    2×1.29705205082693-π/2
    2.59410410165386-1.57079632675     		φ = 1.02330777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.09203885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -5.273438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02330777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.631216°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7952 KachelY 4880 -0.09203885 1.02330777 -5.273438 58.631216
    Oben rechts KachelX + 1 7953 KachelY 4880 -0.09165535 1.02330777 -5.251465 58.631216
    Unten links KachelX 7952 KachelY + 1 4881 -0.09203885 1.02310812 -5.273438 58.619777
    Unten rechts KachelX + 1 7953 KachelY + 1 4881 -0.09165535 1.02310812 -5.251465 58.619777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02330777-1.02310812) × R
    0.000199649999999885 × 6371000     		dl = 1271.97014999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02330777-1.02310812) × R
    0.000199649999999885 × 6371000     		dr = 1271.97014999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.09203885--0.09165535) × cos(1.02330777) × R
    0.000383500000000009 × 0.520544515879301 × 6371000     		do = 1271.83522394083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.09203885--0.09165535) × cos(1.02310812) × R
    0.000383500000000009 × 0.520714973567876 × 6371000     		du = 1272.25169954649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02330777)-sin(1.02310812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520544515879301-0.520714973567876)×R²
    abs(-0.09165535--0.09203885)×0.00017045768857471×R²
    0.000383500000000009×0.00017045768857471×6371000²
    0.000383500000000009×0.00017045768857471×40589641000000     		ar = 1618001.31821522m²