Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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4 / 8 / 4
↖ ↑ ↗
← N 66.513260°
E  0.000000°		 ← 997.094 km → N 66.513260°
E 22.500000°		 →
↑
1 193.865 km
↓
↑
1 193.865 km
↓
N 55.776573°
E  0.000000°		 ← 1 407.114 km →
1 439 365 km²		 N 55.776573°
E 22.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 4 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.53125 y=0.28125 und der Vergrößerungsstufe zoom=4 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.53125 × 24)
    floor (0.53125 × 16)
    floor (8.5)     		tx = 8
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28125 × 24)
    floor (0.28125 × 16)
    floor (4.5)     		ty = 4
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 4 / 8 / 4 ti = "4/8/4"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/4/8/4.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8 ÷ 24
    8 ÷ 16     		x = 0.5
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4 ÷ 24
    4 ÷ 16     		y = 0.25
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5 × 2 - 1) × π
    0 × 3.1415926535     		Λ = 0.00000000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25 × 2 - 1) × π
    0.5 × 3.1415926535     		Φ = 1.57079632675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00000000} λ = 0.00000000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57079632675))-π/2
    2×atan(4.81047738074938)-π/2
    2×1.3658358588729-π/2
    2.73167171774581-1.57079632675     		φ = 1.16087539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00000000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16087539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.513260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8 KachelY 4 0.00000000 1.16087539 0.000000 66.513260
    Oben rechts KachelX + 1 9 KachelY 4 0.39269908 1.16087539 22.500000 66.513260
    Unten links KachelX 8 KachelY + 1 5 0.00000000 0.97348484 0.000000 55.776573
    Unten rechts KachelX + 1 9 KachelY + 1 5 0.39269908 0.97348484 22.500000 55.776573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16087539-0.97348484) × R
    0.18739055 × 6371000     		dl = 1193865.19405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16087539-0.97348484) × R
    0.18739055 × 6371000     		dr = 1193865.19405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00000000-0.39269908) × cos(1.16087539) × R
    0.39269908 × 0.398536816226928 × 6371000     		do = 997093.616710765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00000000-0.39269908) × cos(0.97348484) × R
    0.39269908 × 0.562421509722991 × 6371000     		du = 1407114.41054498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16087539)-sin(0.97348484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398536816226928-0.562421509722991)×R²
    abs(0.39269908-0.00000000)×0.163884693496063×R²
    0.39269908×0.163884693496063×6371000²
    0.39269908×0.163884693496063×40589641000000     		ar = 1439364575394.5m²