Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81860 / 16324
↖ ↑ ↗
← N 79.202251°
E 44.835205°		 ← 57.22 m → N 79.202251°
E 44.837952°		 →
↑
57.21 m
↓
↑
57.21 m
↓
N 79.201737°
E 44.835205°		 ← 57.22 m →
3 274 m²		 N 79.201737°
E 44.837952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81860 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624546051025391 y=0.124546051025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624546051025391 × 217)
    floor (0.624546051025391 × 131072)
    floor (81860.5)     		tx = 81860
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124546051025391 × 217)
    floor (0.124546051025391 × 131072)
    floor (16324.5)     		ty = 16324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81860 / 16324 ti = "17/81860/16324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81860/16324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81860 ÷ 217
    81860 ÷ 131072     		x = 0.624542236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16324 ÷ 217
    16324 ÷ 131072     		y = 0.124542236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.624542236328125 × 2 - 1) × π
    0.24908447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78252195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124542236328125 × 2 - 1) × π
    0.75091552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3590707041022
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78252195} λ = 0.78252195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3590707041022))-π/2
    2×atan(10.5811138964035)-π/2
    2×1.47656819453893-π/2
    2.95313638907786-1.57079632675     		φ = 1.38234006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78252195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.835205°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38234006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.202251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81860 KachelY 16324 0.78252195 1.38234006 44.835205 79.202251
    Oben rechts KachelX + 1 81861 KachelY 16324 0.78256989 1.38234006 44.837952 79.202251
    Unten links KachelX 81860 KachelY + 1 16325 0.78252195 1.38233108 44.835205 79.201737
    Unten rechts KachelX + 1 81861 KachelY + 1 16325 0.78256989 1.38233108 44.837952 79.201737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38234006-1.38233108) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dl = 57.2115800003012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38234006-1.38233108) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dr = 57.2115800003012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78252195-0.78256989) × cos(1.38234006) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187342717997388 × 6371000     		do = 57.2192882779259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78252195-0.78256989) × cos(1.38233108) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187351538995455 × 6371000     		du = 57.2219824377882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38234006)-sin(1.38233108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187342717997388-0.187351538995455)×R²
    abs(0.78256989-0.78252195)×8.82099806770453e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.82099806770453e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.82099806770453e-06×40589641000000     		ar = 3273.68295738062m²