Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82016 / 81888
↖ ↑ ↗
← S 40.913512°
E 45.263672°		 ← 230.76 m → S 40.913512°
E 45.266418°		 →
↑
230.82 m
↓
↑
230.82 m
↓
S 40.915588°
E 45.263672°		 ← 230.75 m →
53 264 m²		 S 40.915588°
E 45.266418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625736236572266 y=0.624759674072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625736236572266 × 217)
    floor (0.625736236572266 × 131072)
    floor (82016.5)     		tx = 82016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624759674072266 × 217)
    floor (0.624759674072266 × 131072)
    floor (81888.5)     		ty = 81888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82016 / 81888 ti = "17/82016/81888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82016/81888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82016 ÷ 217
    82016 ÷ 131072     		x = 0.625732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81888 ÷ 217
    81888 ÷ 131072     		y = 0.624755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625732421875 × 2 - 1) × π
    0.25146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.79000011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624755859375 × 2 - 1) × π
    -0.24951171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.783864182587158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79000011} λ = 0.79000011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.783864182587158))-π/2
    2×atan(0.456638064812416)-π/2
    2×0.428360411901147-π/2
    0.856720823802294-1.57079632675     		φ = -0.71407550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79000011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71407550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.913512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82016 KachelY 81888 0.79000011 -0.71407550 45.263672 -40.913512
    Oben rechts KachelX + 1 82017 KachelY 81888 0.79004804 -0.71407550 45.266418 -40.913512
    Unten links KachelX 82016 KachelY + 1 81889 0.79000011 -0.71411173 45.263672 -40.915588
    Unten rechts KachelX + 1 82017 KachelY + 1 81889 0.79004804 -0.71411173 45.266418 -40.915588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71407550--0.71411173) × R
    3.62299999999705e-05 × 6371000     		dl = 230.821329999812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71407550--0.71411173) × R
    3.62299999999705e-05 × 6371000     		dr = 230.821329999812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79000011-0.79004804) × cos(-0.71407550) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.75569903673778 × 6371000     		do = 230.7617919269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79000011-0.79004804) × cos(-0.71411173) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.755675308524528 × 6371000     		du = 230.754546231533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71407550)-sin(-0.71411173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.75569903673778-0.755675308524528)×R²
    abs(0.79004804-0.79000011)×2.37282132520278e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.37282132520278e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.37282132520278e-05×40589641000000     		ar = 53263.9075010967m²