Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82183 / 16647
↖ ↑ ↗
← N 79.034781°
E 45.722351°		 ← 58.08 m → N 79.034781°
E 45.725097°		 →
↑
58.10 m
↓
↑
58.10 m
↓
N 79.034258°
E 45.722351°		 ← 58.09 m →
3 375 m²		 N 79.034258°
E 45.725097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.627010345458984 y=0.127010345458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.627010345458984 × 217)
    floor (0.627010345458984 × 131072)
    floor (82183.5)     		tx = 82183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127010345458984 × 217)
    floor (0.127010345458984 × 131072)
    floor (16647.5)     		ty = 16647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82183 / 16647 ti = "17/82183/16647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82183/16647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82183 ÷ 217
    82183 ÷ 131072     		x = 0.627006530761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16647 ÷ 217
    16647 ÷ 131072     		y = 0.127006530761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627006530761719 × 2 - 1) × π
    0.254013061523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.79800557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127006530761719 × 2 - 1) × π
    0.745986938476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.34358708552493
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79800557} λ = 0.79800557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34358708552493))-π/2
    2×atan(10.4185418147004)-π/2
    2×1.47510673920791-π/2
    2.95021347841582-1.57079632675     		φ = 1.37941715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79800557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.722351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37941715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.034781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82183 KachelY 16647 0.79800557 1.37941715 45.722351 79.034781
    Oben rechts KachelX + 1 82184 KachelY 16647 0.79805350 1.37941715 45.725097 79.034781
    Unten links KachelX 82183 KachelY + 1 16648 0.79800557 1.37940803 45.722351 79.034258
    Unten rechts KachelX + 1 82184 KachelY + 1 16648 0.79805350 1.37940803 45.725097 79.034258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37941715-1.37940803) × R
    9.12000000008462e-06 × 6371000     		dl = 58.1035200005391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37941715-1.37940803) × R
    9.12000000008462e-06 × 6371000     		dr = 58.1035200005391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79800557-0.79805350) × cos(1.37941715) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.190213072383777 × 6371000     		do = 58.0838499155481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79800557-0.79805350) × cos(1.37940803) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.190222025870489 × 6371000     		du = 58.0865839704261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37941715)-sin(1.37940803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190213072383777-0.190222025870489)×R²
    abs(0.79805350-0.79800557)×8.95348671231533e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.95348671231533e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.95348671231533e-06×40589641000000     		ar = 3374.95556442948m²