Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82433 / 16895
↖ ↑ ↗
← N 78.904458°
E 46.408996°		 ← 58.78 m → N 78.904458°
E 46.411743°		 →
↑
58.80 m
↓
↑
58.80 m
↓
N 78.903929°
E 46.408996°		 ← 58.78 m →
3 456 m²		 N 78.903929°
E 46.411743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16895 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628917694091797 y=0.128902435302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628917694091797 × 217)
    floor (0.628917694091797 × 131072)
    floor (82433.5)     		tx = 82433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128902435302734 × 217)
    floor (0.128902435302734 × 131072)
    floor (16895.5)     		ty = 16895
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82433 / 16895 ti = "17/82433/16895"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82433/16895.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82433 ÷ 217
    82433 ÷ 131072     		x = 0.628913879394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16895 ÷ 217
    16895 ÷ 131072     		y = 0.128898620605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628913879394531 × 2 - 1) × π
    0.257827758789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.80998979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128898620605469 × 2 - 1) × π
    0.742202758789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.33169873441915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80998979} λ = 0.80998979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33169873441915))-π/2
    2×atan(10.2954158640052)-π/2
    2×1.47396945641844-π/2
    2.94793891283688-1.57079632675     		φ = 1.37714259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80998979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.408996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37714259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.904458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82433 KachelY 16895 0.80998979 1.37714259 46.408996 78.904458
    Oben rechts KachelX + 1 82434 KachelY 16895 0.81003773 1.37714259 46.411743 78.904458
    Unten links KachelX 82433 KachelY + 1 16896 0.80998979 1.37713336 46.408996 78.903929
    Unten rechts KachelX + 1 82434 KachelY + 1 16896 0.81003773 1.37713336 46.411743 78.903929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37714259-1.37713336) × R
    9.23000000008223e-06 × 6371000     		dl = 58.8043300005239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37714259-1.37713336) × R
    9.23000000008223e-06 × 6371000     		dr = 58.8043300005239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80998979-0.81003773) × cos(1.37714259) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192445611387822 × 6371000     		do = 58.7778432678394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80998979-0.81003773) × cos(1.37713336) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192454668849152 × 6371000     		du = 58.7806096496688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37714259)-sin(1.37713336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192445611387822-0.192454668849152)×R²
    abs(0.81003773-0.80998979)×9.05746133064711e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.05746133064711e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.05746133064711e-06×40589641000000     		ar = 3456.47302975189m²