Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 82436 / 16908
↖ ↑ ↗
← N 78.897584°
E 46.417236°		 ← 58.81 m → N 78.897584°
E 46.419983°		 →
↑
58.80 m
↓
↑
58.80 m
↓
N 78.897056°
E 46.417236°		 ← 58.82 m →
3 459 m²		 N 78.897056°
E 46.419983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.628940582275391 y=0.129001617431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.628940582275391 × 217)
    floor (0.628940582275391 × 131072)
    floor (82436.5)     		tx = 82436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129001617431641 × 217)
    floor (0.129001617431641 × 131072)
    floor (16908.5)     		ty = 16908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82436 / 16908 ti = "17/82436/16908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82436/16908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82436 ÷ 217
    82436 ÷ 131072     		x = 0.628936767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16908 ÷ 217
    16908 ÷ 131072     		y = 0.128997802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.628936767578125 × 2 - 1) × π
    0.25787353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81013360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128997802734375 × 2 - 1) × π
    0.74200439453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.33107555472409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81013360} λ = 0.81013360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33107555472409))-π/2
    2×atan(10.2890019685989)-π/2
    2×1.47390947397997-π/2
    2.94781894795994-1.57079632675     		φ = 1.37702262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81013360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.417236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37702262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.897584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82436 KachelY 16908 0.81013360 1.37702262 46.417236 78.897584
    Oben rechts KachelX + 1 82437 KachelY 16908 0.81018154 1.37702262 46.419983 78.897584
    Unten links KachelX 82436 KachelY + 1 16909 0.81013360 1.37701339 46.417236 78.897056
    Unten rechts KachelX + 1 82437 KachelY + 1 16909 0.81018154 1.37701339 46.419983 78.897056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37702262-1.37701339) × R
    9.23000000008223e-06 × 6371000     		dl = 58.8043300005239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37702262-1.37701339) × R
    9.23000000008223e-06 × 6371000     		dr = 58.8043300005239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81013360-0.81018154) × cos(1.37702262) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192563337480337 × 6371000     		do = 58.8137998467632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81013360-0.81018154) × cos(1.37701339) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.192572394728498 × 6371000     		du = 58.8165661634851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37702262)-sin(1.37701339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192563337480337-0.192572394728498)×R²
    abs(0.81018154-0.81013360)×9.05724816097075e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.05724816097075e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.05724816097075e-06×40589641000000     		ar = 3458.5874307074m²