Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 82952 / 17416
↖ ↑ ↗
← N 78.625673°
E 47.834472°		 ← 60.24 m → N 78.625673°
E 47.837219°		 →
↑
60.21 m
↓
↑
60.21 m
↓
N 78.625132°
E 47.834472°		 ← 60.24 m →
3 627 m²		 N 78.625132°
E 47.837219°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 82952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.632877349853516 y=0.132877349853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.632877349853516 × 217)
    floor (0.632877349853516 × 131072)
    floor (82952.5)     		tx = 82952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132877349853516 × 217)
    floor (0.132877349853516 × 131072)
    floor (17416.5)     		ty = 17416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 82952 / 17416 ti = "17/82952/17416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/82952/17416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 82952 ÷ 217
    82952 ÷ 131072     		x = 0.63287353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17416 ÷ 217
    17416 ÷ 131072     		y = 0.13287353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63287353515625 × 2 - 1) × π
    0.2657470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83486904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13287353515625 × 2 - 1) × π
    0.7342529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3067236097171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83486904} λ = 0.83486904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3067236097171))-π/2
    2×atan(10.0414709220924)-π/2
    2×1.47153659841444-π/2
    2.94307319682888-1.57079632675     		φ = 1.37227687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83486904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.834472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37227687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.625673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 82952 KachelY 17416 0.83486904 1.37227687 47.834472 78.625673
    Oben rechts KachelX + 1 82953 KachelY 17416 0.83491698 1.37227687 47.837219 78.625673
    Unten links KachelX 82952 KachelY + 1 17417 0.83486904 1.37226742 47.834472 78.625132
    Unten rechts KachelX + 1 82953 KachelY + 1 17417 0.83491698 1.37226742 47.837219 78.625132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37227687-1.37226742) × R
    9.45000000007745e-06 × 6371000     		dl = 60.2059500004934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37227687-1.37226742) × R
    9.45000000007745e-06 × 6371000     		dr = 60.2059500004934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83486904-0.83491698) × cos(1.37227687) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.197218082670442 × 6371000     		do = 60.2354788411008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83486904-0.83491698) × cos(1.37226742) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.197227347060253 × 6371000     		du = 60.2383084242147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37227687)-sin(1.37226742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197218082670442-0.197227347060253)×R²
    abs(0.83491698-0.83486904)×9.26438981177502e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.26438981177502e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.26438981177502e-06×40589641000000     		ar = 3626.61940623826m²