Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8384 / 5312
↖ ↑ ↗
← N 53.330873°
E  4.218750°		 ← 1 459.07 m → N 53.330873°
E  4.240722°		 →
↑
1 459.34 m
↓
↑
1 459.34 m
↓
N 53.317749°
E  4.218750°		 ← 1 459.52 m →
2 129 610 m²		 N 53.317749°
E  4.240722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.511749267578125 y=0.324249267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.511749267578125 × 214)
    floor (0.511749267578125 × 16384)
    floor (8384.5)     		tx = 8384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324249267578125 × 214)
    floor (0.324249267578125 × 16384)
    floor (5312.5)     		ty = 5312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8384 / 5312 ti = "14/8384/5312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8384/5312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8384 ÷ 214
    8384 ÷ 16384     		x = 0.51171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5312 ÷ 214
    5312 ÷ 16384     		y = 0.32421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51171875 × 2 - 1) × π
    0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32421875 × 2 - 1) × π
    0.3515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10446616724609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07363108} λ = 0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10446616724609))-π/2
    2×atan(3.01761313802257)-π/2
    2×1.25079782664629-π/2
    2.50159565329258-1.57079632675     		φ = 0.93079933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93079933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.330873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8384 KachelY 5312 0.07363108 0.93079933 4.218750 53.330873
    Oben rechts KachelX + 1 8385 KachelY 5312 0.07401457 0.93079933 4.240722 53.330873
    Unten links KachelX 8384 KachelY + 1 5313 0.07363108 0.93057027 4.218750 53.317749
    Unten rechts KachelX + 1 8385 KachelY + 1 5313 0.07401457 0.93057027 4.240722 53.317749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93079933-0.93057027) × R
    0.000229060000000003 × 6371000     		dl = 1459.34126000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93079933-0.93057027) × R
    0.000229060000000003 × 6371000     		dr = 1459.34126000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07363108-0.07401457) × cos(0.93079933) × R
    0.00038349 × 0.597193032501625 × 6371000     		do = 1459.07084949292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07363108-0.07401457) × cos(0.93057027) × R
    0.00038349 × 0.597376745298232 × 6371000     		du = 1459.5196993147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93079933)-sin(0.93057027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597193032501625-0.597376745298232)×R²
    abs(0.07401457-0.07363108)×0.000183712796606339×R²
    0.00038349×0.000183712796606339×6371000²
    0.00038349×0.000183712796606339×40589641000000     		ar = 2129609.81377221m²