Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8392 / 5320
↖ ↑ ↗
← N 53.225769°
E  4.394531°		 ← 1 462.66 m → N 53.225769°
E  4.416504°		 →
↑
1 462.91 m
↓
↑
1 462.91 m
↓
N 53.212612°
E  4.394531°		 ← 1 463.11 m →
2 140 072 m²		 N 53.212612°
E  4.416504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.512237548828125 y=0.324737548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.512237548828125 × 214)
    floor (0.512237548828125 × 16384)
    floor (8392.5)     		tx = 8392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324737548828125 × 214)
    floor (0.324737548828125 × 16384)
    floor (5320.5)     		ty = 5320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8392 / 5320 ti = "14/8392/5320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8392/5320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8392 ÷ 214
    8392 ÷ 16384     		x = 0.51220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5320 ÷ 214
    5320 ÷ 16384     		y = 0.32470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51220703125 × 2 - 1) × π
    0.0244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.07669904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32470703125 × 2 - 1) × π
    0.3505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10139820567041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.07669904} λ = 0.07669904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10139820567041))-π/2
    2×atan(3.00836940382597)-π/2
    2×1.24988061644233-π/2
    2.49976123288466-1.57079632675     		φ = 0.92896491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.07669904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.394531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92896491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.225769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8392 KachelY 5320 0.07669904 0.92896491 4.394531 53.225769
    Oben rechts KachelX + 1 8393 KachelY 5320 0.07708253 0.92896491 4.416504 53.225769
    Unten links KachelX 8392 KachelY + 1 5321 0.07669904 0.92873529 4.394531 53.212612
    Unten rechts KachelX + 1 8393 KachelY + 1 5321 0.07708253 0.92873529 4.416504 53.212612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92896491-0.92873529) × R
    0.000229620000000041 × 6371000     		dl = 1462.90902000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92896491-0.92873529) × R
    0.000229620000000041 × 6371000     		dr = 1462.90902000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.07669904-0.07708253) × cos(0.92896491) × R
    0.00038349 × 0.598663410660725 × 6371000     		do = 1462.66329915813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.07669904-0.07708253) × cos(0.92873529) × R
    0.00038349 × 0.59884732065738 × 6371000     		du = 1463.11263078198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92896491)-sin(0.92873529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598663410660725-0.59884732065738)×R²
    abs(0.07708253-0.07669904)×0.000183909996655296×R²
    0.00038349×0.000183909996655296×6371000²
    0.00038349×0.000183909996655296×40589641000000     		ar = 2140072.00860748m²