Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8416 / 5536
↖ ↑ ↗
← N 50.289339°
E  4.921875°		 ← 1 561.04 m → N 50.289339°
E  4.943848°		 →
↑
1 561.28 m
↓
↑
1 561.28 m
↓
N 50.275298°
E  4.921875°		 ← 1 561.50 m →
2 437 572 m²		 N 50.275298°
E  4.943848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513702392578125 y=0.337921142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513702392578125 × 214)
    floor (0.513702392578125 × 16384)
    floor (8416.5)     		tx = 8416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337921142578125 × 214)
    floor (0.337921142578125 × 16384)
    floor (5536.5)     		ty = 5536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8416 / 5536 ti = "14/8416/5536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8416/5536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8416 ÷ 214
    8416 ÷ 16384     		x = 0.513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5536 ÷ 214
    5536 ÷ 16384     		y = 0.337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.513671875 × 2 - 1) × π
    0.02734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.08590292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337890625 × 2 - 1) × π
    0.32421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01856324312695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08590292} λ = 0.08590292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01856324312695))-π/2
    2×atan(2.76921321826836)-π/2
    2×1.22425543769933-π/2
    2.44851087539866-1.57079632675     		φ = 0.87771455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08590292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87771455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.289339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8416 KachelY 5536 0.08590292 0.87771455 4.921875 50.289339
    Oben rechts KachelX + 1 8417 KachelY 5536 0.08628642 0.87771455 4.943848 50.289339
    Unten links KachelX 8416 KachelY + 1 5537 0.08590292 0.87746949 4.921875 50.275298
    Unten rechts KachelX + 1 8417 KachelY + 1 5537 0.08628642 0.87746949 4.943848 50.275298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87771455-0.87746949) × R
    0.000245060000000019 × 6371000     		dl = 1561.27726000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87771455-0.87746949) × R
    0.000245060000000019 × 6371000     		dr = 1561.27726000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08590292-0.08628642) × cos(0.87771455) × R
    0.000383500000000009 × 0.638910963826672 × 6371000     		do = 1561.03742133202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08590292-0.08628642) × cos(0.87746949) × R
    0.000383500000000009 × 0.639099464566016 × 6371000     		du = 1561.49798113569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87771455)-sin(0.87746949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638910963826672-0.639099464566016)×R²
    abs(0.08628642-0.08590292)×0.000188500739343178×R²
    0.000383500000000009×0.000188500739343178×6371000²
    0.000383500000000009×0.000188500739343178×40589641000000     		ar = 2437571.77090791m²