Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8417 / 5537
↖ ↑ ↗
← N 50.275298°
E  4.943848°		 ← 1 561.46 m → N 50.275298°
E  4.965820°		 →
↑
1 561.66 m
↓
↑
1 561.66 m
↓
N 50.261254°
E  4.943848°		 ← 1 561.92 m →
2 438 824 m²		 N 50.261254°
E  4.965820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8417 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.513763427734375 y=0.337982177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.513763427734375 × 214)
    floor (0.513763427734375 × 16384)
    floor (8417.5)     		tx = 8417
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337982177734375 × 214)
    floor (0.337982177734375 × 16384)
    floor (5537.5)     		ty = 5537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8417 / 5537 ti = "14/8417/5537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8417/5537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8417 ÷ 214
    8417 ÷ 16384     		x = 0.51373291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5537 ÷ 214
    5537 ÷ 16384     		y = 0.33795166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51373291015625 × 2 - 1) × π
    0.0274658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.08628642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33795166015625 × 2 - 1) × π
    0.3240966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01817974792999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.08628642} λ = 0.08628642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01817974792999))-π/2
    2×atan(2.76815144190588)-π/2
    2×1.2241329099845-π/2
    2.448265819969-1.57079632675     		φ = 0.87746949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.08628642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 4.943848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87746949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.275298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8417 KachelY 5537 0.08628642 0.87746949 4.943848 50.275298
    Oben rechts KachelX + 1 8418 KachelY 5537 0.08666991 0.87746949 4.965820 50.275298
    Unten links KachelX 8417 KachelY + 1 5538 0.08628642 0.87722437 4.943848 50.261254
    Unten rechts KachelX + 1 8418 KachelY + 1 5538 0.08666991 0.87722437 4.965820 50.261254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87746949-0.87722437) × R
    0.000245119999999988 × 6371000     		dl = 1561.65951999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87746949-0.87722437) × R
    0.000245119999999988 × 6371000     		dr = 1561.65951999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.08628642-0.08666991) × cos(0.87746949) × R
    0.00038349 × 0.639099464566016 × 6371000     		do = 1561.45726410877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.08628642-0.08666991) × cos(0.87722437) × R
    0.00038349 × 0.639287973062668 × 6371000     		du = 1561.91783085583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87746949)-sin(0.87722437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639099464566016-0.639287973062668)×R²
    abs(0.08666991-0.08628642)×0.000188508496652307×R²
    0.00038349×0.000188508496652307×6371000²
    0.00038349×0.000188508496652307×40589641000000     		ar = 2438824.23800268m²