Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8449 / 5889
↖ ↑ ↗
← N 45.073521°
E  5.646973°		 ← 1 725.40 m → N 45.073521°
E  5.668945°		 →
↑
1 725.65 m
↓
↑
1 725.65 m
↓
N 45.058001°
E  5.646973°		 ← 1 725.86 m →
2 977 831 m²		 N 45.058001°
E  5.668945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515716552734375 y=0.359466552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515716552734375 × 214)
    floor (0.515716552734375 × 16384)
    floor (8449.5)     		tx = 8449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359466552734375 × 214)
    floor (0.359466552734375 × 16384)
    floor (5889.5)     		ty = 5889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8449 / 5889 ti = "14/8449/5889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8449/5889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8449 ÷ 214
    8449 ÷ 16384     		x = 0.51568603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5889 ÷ 214
    5889 ÷ 16384     		y = 0.35943603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51568603515625 × 2 - 1) × π
    0.0313720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09855827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35943603515625 × 2 - 1) × π
    0.2811279296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.883189438599915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09855827} λ = 0.09855827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.883189438599915))-π/2
    2×atan(2.4186013985096)-π/2
    2×1.17873883341483-π/2
    2.35747766682967-1.57079632675     		φ = 0.78668134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09855827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78668134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.073521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8449 KachelY 5889 0.09855827 0.78668134 5.646973 45.073521
    Oben rechts KachelX + 1 8450 KachelY 5889 0.09894176 0.78668134 5.668945 45.073521
    Unten links KachelX 8449 KachelY + 1 5890 0.09855827 0.78641048 5.646973 45.058001
    Unten rechts KachelX + 1 8450 KachelY + 1 5890 0.09894176 0.78641048 5.668945 45.058001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78668134-0.78641048) × R
    0.000270859999999984 × 6371000     		dl = 1725.6490599999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78668134-0.78641048) × R
    0.000270859999999984 × 6371000     		dr = 1725.6490599999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09855827-0.09894176) × cos(0.78668134) × R
    0.00038349 × 0.706198856417924 × 6371000     		do = 1725.39549068136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09855827-0.09894176) × cos(0.78641048) × R
    0.00038349 × 0.706390603058289 × 6371000     		du = 1725.86396890903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78668134)-sin(0.78641048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706198856417924-0.706390603058289)×R²
    abs(0.09894176-0.09855827)×0.000191746640364254×R²
    0.00038349×0.000191746640364254×6371000²
    0.00038349×0.000191746640364254×40589641000000     		ar = 2977831.33933495m²