Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8450 / 5890
↖ ↑ ↗
← N 45.058001°
E  5.668945°		 ← 1 725.91 m → N 45.058001°
E  5.690918°		 →
↑
1 726.10 m
↓
↑
1 726.10 m
↓
N 45.042478°
E  5.668945°		 ← 1 726.38 m →
2 979 487 m²		 N 45.042478°
E  5.690918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515777587890625 y=0.359527587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515777587890625 × 214)
    floor (0.515777587890625 × 16384)
    floor (8450.5)     		tx = 8450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359527587890625 × 214)
    floor (0.359527587890625 × 16384)
    floor (5890.5)     		ty = 5890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8450 / 5890 ti = "14/8450/5890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8450/5890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8450 ÷ 214
    8450 ÷ 16384     		x = 0.5157470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5890 ÷ 214
    5890 ÷ 16384     		y = 0.3594970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5157470703125 × 2 - 1) × π
    0.031494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.09894176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3594970703125 × 2 - 1) × π
    0.281005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.882805943402954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09894176} λ = 0.09894176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.882805943402954))-π/2
    2×atan(2.4176740543173)-π/2
    2×1.17860340309655-π/2
    2.3572068061931-1.57079632675     		φ = 0.78641048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09894176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.668945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78641048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.058001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8450 KachelY 5890 0.09894176 0.78641048 5.668945 45.058001
    Oben rechts KachelX + 1 8451 KachelY 5890 0.09932526 0.78641048 5.690918 45.058001
    Unten links KachelX 8450 KachelY + 1 5891 0.09894176 0.78613955 5.668945 45.042478
    Unten rechts KachelX + 1 8451 KachelY + 1 5891 0.09932526 0.78613955 5.690918 45.042478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78641048-0.78613955) × R
    0.000270930000000003 × 6371000     		dl = 1726.09503000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78641048-0.78613955) × R
    0.000270930000000003 × 6371000     		dr = 1726.09503000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09894176-0.09932526) × cos(0.78641048) × R
    0.000383499999999995 × 0.706390603058289 × 6371000     		do = 1725.90897305433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09894176-0.09932526) × cos(0.78613955) × R
    0.000383499999999995 × 0.706582347408368 × 6371000     		du = 1726.37745790237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78641048)-sin(0.78613955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706390603058289-0.706582347408368)×R²
    abs(0.09932526-0.09894176)×0.00019174435007896×R²
    0.000383499999999995×0.00019174435007896×6371000²
    0.000383499999999995×0.00019174435007896×40589641000000     		ar = 2979487.24353058m²