Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8452 / 5892
↖ ↑ ↗
← N 45.026951°
E  5.712891°		 ← 1 726.85 m → N 45.026951°
E  5.734863°		 →
↑
1 727.05 m
↓
↑
1 727.05 m
↓
N 45.011419°
E  5.712891°		 ← 1 727.31 m →
2 982 755 m²		 N 45.011419°
E  5.734863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.515899658203125 y=0.359649658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.515899658203125 × 214)
    floor (0.515899658203125 × 16384)
    floor (8452.5)     		tx = 8452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.359649658203125 × 214)
    floor (0.359649658203125 × 16384)
    floor (5892.5)     		ty = 5892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8452 / 5892 ti = "14/8452/5892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8452/5892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8452 ÷ 214
    8452 ÷ 16384     		x = 0.515869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5892 ÷ 214
    5892 ÷ 16384     		y = 0.359619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.515869140625 × 2 - 1) × π
    0.03173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.09970875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.359619140625 × 2 - 1) × π
    0.28076171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.882038953009033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.09970875} λ = 0.09970875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.882038953009033))-π/2
    2×atan(2.41582043248794)-π/2
    2×1.17833243215876-π/2
    2.35666486431752-1.57079632675     		φ = 0.78586854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.09970875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.712891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.78586854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 45.026951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8452 KachelY 5892 0.09970875 0.78586854 5.712891 45.026951
    Oben rechts KachelX + 1 8453 KachelY 5892 0.10009225 0.78586854 5.734863 45.026951
    Unten links KachelX 8452 KachelY + 1 5893 0.09970875 0.78559746 5.712891 45.011419
    Unten rechts KachelX + 1 8453 KachelY + 1 5893 0.10009225 0.78559746 5.734863 45.011419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.78586854-0.78559746) × R
    0.000271079999999979 × 6371000     		dl = 1727.05067999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.78586854-0.78559746) × R
    0.000271079999999979 × 6371000     		dr = 1727.05067999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.09970875-0.10009225) × cos(0.78586854) × R
    0.000383499999999995 × 0.706774096488284 × 6371000     		do = 1726.84595430673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.09970875-0.10009225) × cos(0.78559746) × R
    0.000383499999999995 × 0.706965843165514 × 6371000     		du = 1727.31444484065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.78586854)-sin(0.78559746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706774096488284-0.706965843165514)×R²
    abs(0.10009225-0.09970875)×0.000191746677229543×R²
    0.000383499999999995×0.000191746677229543×6371000²
    0.000383499999999995×0.000191746677229543×40589641000000     		ar = 2982755.05135515m²