Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8465 / 5487
↖ ↑ ↗
← N 50.972265°
E  5.998535°		 ← 1 538.48 m → N 50.972265°
E  6.020508°		 →
↑
1 538.72 m
↓
↑
1 538.72 m
↓
N 50.958427°
E  5.998535°		 ← 1 538.94 m →
2 367 655 m²		 N 50.958427°
E  6.020508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8465 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.516693115234375 y=0.334930419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.516693115234375 × 214)
    floor (0.516693115234375 × 16384)
    floor (8465.5)     		tx = 8465
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334930419921875 × 214)
    floor (0.334930419921875 × 16384)
    floor (5487.5)     		ty = 5487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8465 / 5487 ti = "14/8465/5487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8465/5487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8465 ÷ 214
    8465 ÷ 16384     		x = 0.51666259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5487 ÷ 214
    5487 ÷ 16384     		y = 0.33489990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51666259765625 × 2 - 1) × π
    0.0333251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.10469419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33489990234375 × 2 - 1) × π
    0.3302001953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03735450777802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10469419} λ = 0.10469419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03735450777802))-π/2
    2×atan(2.82174223434141)-π/2
    2×1.2302150881472-π/2
    2.46043017629439-1.57079632675     		φ = 0.88963385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10469419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.998535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88963385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.972265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8465 KachelY 5487 0.10469419 0.88963385 5.998535 50.972265
    Oben rechts KachelX + 1 8466 KachelY 5487 0.10507768 0.88963385 6.020508 50.972265
    Unten links KachelX 8465 KachelY + 1 5488 0.10469419 0.88939233 5.998535 50.958427
    Unten rechts KachelX + 1 8466 KachelY + 1 5488 0.10507768 0.88939233 6.020508 50.958427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88963385-0.88939233) × R
    0.000241519999999995 × 6371000     		dl = 1538.72391999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88963385-0.88939233) × R
    0.000241519999999995 × 6371000     		dr = 1538.72391999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10469419-0.10507768) × cos(0.88963385) × R
    0.00038349 × 0.629696509196376 × 6371000     		do = 1538.48382447996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10469419-0.10507768) × cos(0.88939233) × R
    0.00038349 × 0.629884113524226 × 6371000     		du = 1538.94218214843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88963385)-sin(0.88939233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629696509196376-0.629884113524226)×R²
    abs(0.10507768-0.10469419)×0.000187604327849922×R²
    0.00038349×0.000187604327849922×6371000²
    0.00038349×0.000187604327849922×40589641000000     		ar = 2367654.5157244m²