Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8481 / 5407
↖ ↑ ↗
← N 52.066000°
E  6.350098°		 ← 1 502.01 m → N 52.066000°
E  6.372070°		 →
↑
1 502.22 m
↓
↑
1 502.22 m
↓
N 52.052490°
E  6.350098°		 ← 1 502.47 m →
2 256 693 m²		 N 52.052490°
E  6.372070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.517669677734375 y=0.330047607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.517669677734375 × 214)
    floor (0.517669677734375 × 16384)
    floor (8481.5)     		tx = 8481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330047607421875 × 214)
    floor (0.330047607421875 × 16384)
    floor (5407.5)     		ty = 5407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8481 / 5407 ti = "14/8481/5407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8481/5407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8481 ÷ 214
    8481 ÷ 16384     		x = 0.51763916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5407 ÷ 214
    5407 ÷ 16384     		y = 0.33001708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51763916015625 × 2 - 1) × π
    0.0352783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.11083011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33001708984375 × 2 - 1) × π
    0.3399658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.06803412353485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11083011} λ = 0.11083011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06803412353485))-π/2
    2×atan(2.90965385383149)-π/2
    2×1.23975973002718-π/2
    2.47951946005435-1.57079632675     		φ = 0.90872313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11083011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.350098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90872313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.066000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8481 KachelY 5407 0.11083011 0.90872313 6.350098 52.066000
    Oben rechts KachelX + 1 8482 KachelY 5407 0.11121361 0.90872313 6.372070 52.066000
    Unten links KachelX 8481 KachelY + 1 5408 0.11083011 0.90848734 6.350098 52.052490
    Unten rechts KachelX + 1 8482 KachelY + 1 5408 0.11121361 0.90848734 6.372070 52.052490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90872313-0.90848734) × R
    0.000235790000000069 × 6371000     		dl = 1502.21809000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90872313-0.90848734) × R
    0.000235790000000069 × 6371000     		dr = 1502.21809000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11083011-0.11121361) × cos(0.90872313) × R
    0.000383500000000009 × 0.614753342530432 × 6371000     		do = 1502.01362460777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11083011-0.11121361) × cos(0.90848734) × R
    0.000383500000000009 × 0.614939297592205 × 6371000     		du = 1502.46796461217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90872313)-sin(0.90848734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614753342530432-0.614939297592205)×R²
    abs(0.11121361-0.11083011)×0.000185955061773324×R²
    0.000383500000000009×0.000185955061773324×6371000²
    0.000383500000000009×0.000185955061773324×40589641000000     		ar = 2256693.30765616m²