Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8496 / 5488
↖ ↑ ↗
← N 50.958427°
E  6.679688°		 ← 1 538.98 m → N 50.958427°
E  6.701660°		 →
↑
1 539.23 m
↓
↑
1 539.23 m
↓
N 50.944584°
E  6.679688°		 ← 1 539.44 m →
2 369 206 m²		 N 50.944584°
E  6.701660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518585205078125 y=0.334991455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518585205078125 × 214)
    floor (0.518585205078125 × 16384)
    floor (8496.5)     		tx = 8496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334991455078125 × 214)
    floor (0.334991455078125 × 16384)
    floor (5488.5)     		ty = 5488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8496 / 5488 ti = "14/8496/5488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8496/5488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8496 ÷ 214
    8496 ÷ 16384     		x = 0.5185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5488 ÷ 214
    5488 ÷ 16384     		y = 0.3349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5185546875 × 2 - 1) × π
    0.037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11658254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3349609375 × 2 - 1) × π
    0.330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.03697101258105
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11658254} λ = 0.11658254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03697101258105))-π/2
    2×atan(2.82066031721575)-π/2
    2×1.23009432736756-π/2
    2.46018865473512-1.57079632675     		φ = 0.88939233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11658254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88939233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.958427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8496 KachelY 5488 0.11658254 0.88939233 6.679688 50.958427
    Oben rechts KachelX + 1 8497 KachelY 5488 0.11696604 0.88939233 6.701660 50.958427
    Unten links KachelX 8496 KachelY + 1 5489 0.11658254 0.88915073 6.679688 50.944584
    Unten rechts KachelX + 1 8497 KachelY + 1 5489 0.11696604 0.88915073 6.701660 50.944584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88939233-0.88915073) × R
    0.000241599999999953 × 6371000     		dl = 1539.2335999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88939233-0.88915073) × R
    0.000241599999999953 × 6371000     		dr = 1539.2335999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11658254-0.11696604) × cos(0.88939233) × R
    0.000383499999999995 × 0.629884113524226 × 6371000     		do = 1538.98231206528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11658254-0.11696604) × cos(0.88915073) × R
    0.000383499999999995 × 0.630071743232689 × 6371000     		du = 1539.44074369793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88939233)-sin(0.88915073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629884113524226-0.630071743232689)×R²
    abs(0.11696604-0.11658254)×0.000187629708462422×R²
    0.000383499999999995×0.000187629708462422×6371000²
    0.000383499999999995×0.000187629708462422×40589641000000     		ar = 2369206.11274681m²