Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8496 / 5489
↖ ↑ ↗
← N 50.944584°
E  6.679688°		 ← 1 539.44 m → N 50.944584°
E  6.701660°		 →
↑
1 539.62 m
↓
↑
1 539.62 m
↓
N 50.930738°
E  6.679688°		 ← 1 539.90 m →
2 370 500 m²		 N 50.930738°
E  6.701660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518585205078125 y=0.335052490234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518585205078125 × 214)
    floor (0.518585205078125 × 16384)
    floor (8496.5)     		tx = 8496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335052490234375 × 214)
    floor (0.335052490234375 × 16384)
    floor (5489.5)     		ty = 5489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8496 / 5489 ti = "14/8496/5489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8496/5489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8496 ÷ 214
    8496 ÷ 16384     		x = 0.5185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5489 ÷ 214
    5489 ÷ 16384     		y = 0.33502197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5185546875 × 2 - 1) × π
    0.037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11658254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33502197265625 × 2 - 1) × π
    0.3299560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.03658751738409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11658254} λ = 0.11658254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03658751738409))-π/2
    2×atan(2.81957881492056)-π/2
    2×1.22997353061318-π/2
    2.45994706122636-1.57079632675     		φ = 0.88915073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11658254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88915073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.944584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8496 KachelY 5489 0.11658254 0.88915073 6.679688 50.944584
    Oben rechts KachelX + 1 8497 KachelY 5489 0.11696604 0.88915073 6.701660 50.944584
    Unten links KachelX 8496 KachelY + 1 5490 0.11658254 0.88890907 6.679688 50.930738
    Unten rechts KachelX + 1 8497 KachelY + 1 5490 0.11696604 0.88890907 6.701660 50.930738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88915073-0.88890907) × R
    0.000241660000000032 × 6371000     		dl = 1539.61586000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88915073-0.88890907) × R
    0.000241660000000032 × 6371000     		dr = 1539.61586000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11658254-0.11696604) × cos(0.88915073) × R
    0.000383499999999995 × 0.630071743232689 × 6371000     		do = 1539.44074369793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11658254-0.11696604) × cos(0.88890907) × R
    0.000383499999999995 × 0.630259382746591 × 6371000     		du = 1539.899199288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88915073)-sin(0.88890907))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630071743232689-0.630259382746591)×R²
    abs(0.11696604-0.11658254)×0.000187639513901883×R²
    0.000383499999999995×0.000187639513901883×6371000²
    0.000383499999999995×0.000187639513901883×40589641000000     		ar = 2370500.31881201m²