Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8499 / 5493
↖ ↑ ↗
← N 50.889174°
E  6.745606°		 ← 1 541.23 m → N 50.889174°
E  6.767578°		 →
↑
1 541.46 m
↓
↑
1 541.46 m
↓
N 50.875311°
E  6.745606°		 ← 1 541.69 m →
2 376 110 m²		 N 50.875311°
E  6.767578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.518768310546875 y=0.335296630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.518768310546875 × 214)
    floor (0.518768310546875 × 16384)
    floor (8499.5)     		tx = 8499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335296630859375 × 214)
    floor (0.335296630859375 × 16384)
    floor (5493.5)     		ty = 5493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8499 / 5493 ti = "14/8499/5493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8499/5493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8499 ÷ 214
    8499 ÷ 16384     		x = 0.51873779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5493 ÷ 214
    5493 ÷ 16384     		y = 0.33526611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51873779296875 × 2 - 1) × π
    0.0374755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11773303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33526611328125 × 2 - 1) × π
    0.3294677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03505353659625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11773303} λ = 0.11773303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03505353659625))-π/2
    2×atan(2.81525695086436)-π/2
    2×1.22948998377503-π/2
    2.45897996755005-1.57079632675     		φ = 0.88818364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11773303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.745606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88818364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.889174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8499 KachelY 5493 0.11773303 0.88818364 6.745606 50.889174
    Oben rechts KachelX + 1 8500 KachelY 5493 0.11811652 0.88818364 6.767578 50.889174
    Unten links KachelX 8499 KachelY + 1 5494 0.11773303 0.88794169 6.745606 50.875311
    Unten rechts KachelX + 1 8500 KachelY + 1 5494 0.11811652 0.88794169 6.767578 50.875311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88818364-0.88794169) × R
    0.000241950000000046 × 6371000     		dl = 1541.46345000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88818364-0.88794169) × R
    0.000241950000000046 × 6371000     		dr = 1541.46345000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11773303-0.11811652) × cos(0.88818364) × R
    0.00038349 × 0.630822429570585 × 6371000     		do = 1541.23468979059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11773303-0.11811652) × cos(0.88794169) × R
    0.00038349 × 0.631010146697332 × 6371000     		du = 1541.69332305099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88818364)-sin(0.88794169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630822429570585-0.631010146697332)×R²
    abs(0.11811652-0.11773303)×0.000187717126747922×R²
    0.00038349×0.000187717126747922×6371000²
    0.00038349×0.000187717126747922×40589641000000     		ar = 2376110.4369793m²