Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8504 / 5471
↖ ↑ ↗
← N 51.193116°
E  6.855469°		 ← 1 531.20 m → N 51.193116°
E  6.877442°		 →
↑
1 531.46 m
↓
↑
1 531.46 m
↓
N 51.179343°
E  6.855469°		 ← 1 531.65 m →
2 345 318 m²		 N 51.179343°
E  6.877442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519073486328125 y=0.333953857421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519073486328125 × 214)
    floor (0.519073486328125 × 16384)
    floor (8504.5)     		tx = 8504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333953857421875 × 214)
    floor (0.333953857421875 × 16384)
    floor (5471.5)     		ty = 5471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8504 / 5471 ti = "14/8504/5471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8504/5471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8504 ÷ 214
    8504 ÷ 16384     		x = 0.51904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5471 ÷ 214
    5471 ÷ 16384     		y = 0.33392333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51904296875 × 2 - 1) × π
    0.0380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.11965050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33392333984375 × 2 - 1) × π
    0.3321533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04349043092938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11965050} λ = 0.11965050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04349043092938))-π/2
    2×atan(2.83910945532196)-π/2
    2×1.23214237107409-π/2
    2.46428474214818-1.57079632675     		φ = 0.89348842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11965050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89348842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.193116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8504 KachelY 5471 0.11965050 0.89348842 6.855469 51.193116
    Oben rechts KachelX + 1 8505 KachelY 5471 0.12003400 0.89348842 6.877442 51.193116
    Unten links KachelX 8504 KachelY + 1 5472 0.11965050 0.89324804 6.855469 51.179343
    Unten rechts KachelX + 1 8505 KachelY + 1 5472 0.12003400 0.89324804 6.877442 51.179343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89348842-0.89324804) × R
    0.000240379999999929 × 6371000     		dl = 1531.46097999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89348842-0.89324804) × R
    0.000240379999999929 × 6371000     		dr = 1531.46097999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11965050-0.12003400) × cos(0.89348842) × R
    0.000383499999999995 × 0.626697449769167 × 6371000     		do = 1531.19640502582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11965050-0.12003400) × cos(0.89324804) × R
    0.000383499999999995 × 0.626884750821521 × 6371000     		du = 1531.65403366006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89348842)-sin(0.89324804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626697449769167-0.626884750821521)×R²
    abs(0.12003400-0.11965050)×0.000187301052353539×R²
    0.000383499999999995×0.000187301052353539×6371000²
    0.000383499999999995×0.000187301052353539×40589641000000     		ar = 2345317.97850536m²