Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8505 / 5472
↖ ↑ ↗
← N 51.179343°
E  6.877442°		 ← 1 531.61 m → N 51.179343°
E  6.899414°		 →
↑
1 531.84 m
↓
↑
1 531.84 m
↓
N 51.165567°
E  6.877442°		 ← 1 532.07 m →
2 346 543 m²		 N 51.165567°
E  6.899414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519134521484375 y=0.334014892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519134521484375 × 214)
    floor (0.519134521484375 × 16384)
    floor (8505.5)     		tx = 8505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334014892578125 × 214)
    floor (0.334014892578125 × 16384)
    floor (5472.5)     		ty = 5472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8505 / 5472 ti = "14/8505/5472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8505/5472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8505 ÷ 214
    8505 ÷ 16384     		x = 0.51910400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5472 ÷ 214
    5472 ÷ 16384     		y = 0.333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51910400390625 × 2 - 1) × π
    0.0382080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.12003400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333984375 × 2 - 1) × π
    0.33203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04310693573242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12003400} λ = 0.12003400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04310693573242))-π/2
    2×atan(2.8380208792274)-π/2
    2×1.23202218538612-π/2
    2.46404437077225-1.57079632675     		φ = 0.89324804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12003400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.877442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89324804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.179343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8505 KachelY 5472 0.12003400 0.89324804 6.877442 51.179343
    Oben rechts KachelX + 1 8506 KachelY 5472 0.12041749 0.89324804 6.899414 51.179343
    Unten links KachelX 8505 KachelY + 1 5473 0.12003400 0.89300760 6.877442 51.165567
    Unten rechts KachelX + 1 8506 KachelY + 1 5473 0.12041749 0.89300760 6.899414 51.165567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89324804-0.89300760) × R
    0.000240440000000008 × 6371000     		dl = 1531.84324000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89324804-0.89300760) × R
    0.000240440000000008 × 6371000     		dr = 1531.84324000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12003400-0.12041749) × cos(0.89324804) × R
    0.00038349 × 0.626884750821521 × 6371000     		do = 1531.6140948326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12003400-0.12041749) × cos(0.89300760) × R
    0.00038349 × 0.627072062388554 × 6371000     		du = 1532.07173722352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89324804)-sin(0.89300760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626884750821521-0.627072062388554)×R²
    abs(0.12041749-0.12003400)×0.000187311567033888×R²
    0.00038349×0.000187311567033888×6371000²
    0.00038349×0.000187311567033888×40589641000000     		ar = 2346543.22696337m²