Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8505 / 5474
N 51.151786°
E  6.877442°
← 1 532.53 m → N 51.151786°
E  6.899414°

1 532.80 m

1 532.80 m
N 51.138002°
E  6.877442°
← 1 532.99 m →
2 349 410 m²
N 51.138002°
E  6.899414°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519134521484375 y=0.334136962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519134521484375 × 214)
    floor (0.519134521484375 × 16384)
    floor (8505.5)
    tx = 8505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334136962890625 × 214)
    floor (0.334136962890625 × 16384)
    floor (5474.5)
    ty = 5474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8505 / 5474 ti = "14/8505/5474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8505/5474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8505 ÷ 214
    8505 ÷ 16384
    x = 0.51910400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5474 ÷ 214
    5474 ÷ 16384
    y = 0.3341064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.51910400390625 × 2 - 1) × π
    0.0382080078125 × 3.1415926535
    Λ = 0.12003400
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.3341064453125 × 2 - 1) × π
    0.331787109375 × 3.1415926535
    Φ = 1.0423399453385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12003400} λ = 0.12003400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0423399453385))-π/2
    2×atan(2.83584497902923)-π/2
    2×1.23178170626102-π/2
    2.46356341252204-1.57079632675
    φ = 0.89276709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12003400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.877442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89276709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.151786°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8505 KachelY 5474 0.12003400 0.89276709 6.877442 51.151786
    Oben rechts KachelX + 1 8506 KachelY 5474 0.12041749 0.89276709 6.899414 51.151786
    Unten links KachelX 8505 KachelY + 1 5475 0.12003400 0.89252650 6.877442 51.138002
    Unten rechts KachelX + 1 8506 KachelY + 1 5475 0.12041749 0.89252650 6.899414 51.138002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(0.89276709-0.89252650) × R
    0.000240589999999985 × 6371000
    dl = 1532.7988899999m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(0.89276709-0.89252650) × R
    0.000240589999999985 × 6371000
    dr = 1532.7988899999m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.12003400-0.12041749) × cos(0.89276709) × R
    0.00038349 × 0.627259392220409 × 6371000
    do = 1532.52942423931m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.12003400-0.12041749) × cos(0.89252650) × R
    0.00038349 × 0.627446748061166 × 6371000
    du = 1532.98717480045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(0.89276709)-sin(0.89252650))×
    abs(λ12)×abs(0.627259392220409-0.627446748061166)×
    abs(0.12041749-0.12003400)×0.000187355840757464×
    0.00038349×0.000187355840757464×6371000²
    0.00038349×0.000187355840757464×40589641000000
    ar = 2349410.23147549m²