Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8511 / 5313
↖ ↑ ↗
← N 53.317749°
E  7.009277°		 ← 1 459.52 m → N 53.317749°
E  7.031250°		 →
↑
1 459.79 m
↓
↑
1 459.79 m
↓
N 53.304621°
E  7.009277°		 ← 1 459.97 m →
2 130 916 m²		 N 53.304621°
E  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519500732421875 y=0.324310302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519500732421875 × 214)
    floor (0.519500732421875 × 16384)
    floor (8511.5)     		tx = 8511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324310302734375 × 214)
    floor (0.324310302734375 × 16384)
    floor (5313.5)     		ty = 5313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8511 / 5313 ti = "14/8511/5313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8511/5313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8511 ÷ 214
    8511 ÷ 16384     		x = 0.51947021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5313 ÷ 214
    5313 ÷ 16384     		y = 0.32427978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51947021484375 × 2 - 1) × π
    0.0389404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12233497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32427978515625 × 2 - 1) × π
    0.3514404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10408267204913
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12233497} λ = 0.12233497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10408267204913))-π/2
    2×atan(3.0164561197475)-π/2
    2×1.25068329870342-π/2
    2.50136659740683-1.57079632675     		φ = 0.93057027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12233497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.009277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93057027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.317749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8511 KachelY 5313 0.12233497 0.93057027 7.009277 53.317749
    Oben rechts KachelX + 1 8512 KachelY 5313 0.12271846 0.93057027 7.031250 53.317749
    Unten links KachelX 8511 KachelY + 1 5314 0.12233497 0.93034114 7.009277 53.304621
    Unten rechts KachelX + 1 8512 KachelY + 1 5314 0.12271846 0.93034114 7.031250 53.304621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93057027-0.93034114) × R
    0.000229130000000022 × 6371000     		dl = 1459.78723000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93057027-0.93034114) × R
    0.000229130000000022 × 6371000     		dr = 1459.78723000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12233497-0.12271846) × cos(0.93057027) × R
    0.00038349 × 0.597376745298232 × 6371000     		do = 1459.5196993147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12233497-0.12271846) × cos(0.93034114) × R
    0.00038349 × 0.597560482879056 × 6371000     		du = 1459.96860968965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93057027)-sin(0.93034114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597376745298232-0.597560482879056)×R²
    abs(0.12271846-0.12233497)×0.000183737580824683×R²
    0.00038349×0.000183737580824683×6371000²
    0.00038349×0.000183737580824683×40589641000000     		ar = 2130915.88513231m²