Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8511 / 5440
↖ ↑ ↗
← N 51.618016°
E  7.009277°		 ← 1 517 m → N 51.618016°
E  7.031250°		 →
↑
1 517.25 m
↓
↑
1 517.25 m
↓
N 51.604371°
E  7.009277°		 ← 1 517.45 m →
2 302 013 m²		 N 51.604371°
E  7.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.519500732421875 y=0.332061767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.519500732421875 × 214)
    floor (0.519500732421875 × 16384)
    floor (8511.5)     		tx = 8511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332061767578125 × 214)
    floor (0.332061767578125 × 16384)
    floor (5440.5)     		ty = 5440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8511 / 5440 ti = "14/8511/5440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8511/5440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8511 ÷ 214
    8511 ÷ 16384     		x = 0.51947021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5440 ÷ 214
    5440 ÷ 16384     		y = 0.33203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.51947021484375 × 2 - 1) × π
    0.0389404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.12233497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33203125 × 2 - 1) × π
    0.3359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05537878203516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.12233497} λ = 0.12233497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05537878203516))-π/2
    2×atan(2.87306321255058)-π/2
    2×1.23585033445059-π/2
    2.47170066890119-1.57079632675     		φ = 0.90090434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.12233497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 7.009277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90090434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.618016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8511 KachelY 5440 0.12233497 0.90090434 7.009277 51.618016
    Oben rechts KachelX + 1 8512 KachelY 5440 0.12271846 0.90090434 7.031250 51.618016
    Unten links KachelX 8511 KachelY + 1 5441 0.12233497 0.90066619 7.009277 51.604371
    Unten rechts KachelX + 1 8512 KachelY + 1 5441 0.12271846 0.90066619 7.031250 51.604371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90090434-0.90066619) × R
    0.000238149999999937 × 6371000     		dl = 1517.2536499996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90090434-0.90066619) × R
    0.000238149999999937 × 6371000     		dr = 1517.2536499996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.12233497-0.12271846) × cos(0.90090434) × R
    0.00038349 × 0.620901320323887 × 6371000     		do = 1516.99528894585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.12233497-0.12271846) × cos(0.90066619) × R
    0.00038349 × 0.621087985817259 × 6371000     		du = 1517.45135284004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90090434)-sin(0.90066619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.620901320323887-0.621087985817259)×R²
    abs(0.12271846-0.12233497)×0.000186665493372318×R²
    0.00038349×0.000186665493372318×6371000²
    0.00038349×0.000186665493372318×40589641000000     		ar = 2302012.63236985m²